calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
A
Q
C
R
¨
¨
FIGURA PARA EL PROBLEMA 19
O
P
19. Suponga que reemplaza el espejo parabólico que aparece en el problema 18 con un espejo esférico.
Aunque el espejo no tiene foco, puede demostrar la existencia de un foco aproximado. En
la figura, C es un semicírculo con centro O. Un rayo de luz que llega hacia el espejo paralelo
al eje a lo largo de la recta PQ, se reflejará hacia el punto R sobre el eje, de modo que
PQO OQR (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). ¿Qué sucede
con el punto R a medida que P se lleva cada vez más cerca al eje?
20. Si f y t son funciones derivables donde f 0 t0 0 y t0 0, demuestre que
sena 2x 2 sena x sen a
21. Evalúe lím
.
x l 0
x 2
lím
x l 0
f x
tx f 0
t0
CAS
22. (a) La función cúbica f x xx 2x 6 tiene tres ceros distintos: 0, 2 y 6. Dibuje f y su
rectas tangentes en el promedio de cada par de ceros. ¿Qué advierte?
(b) Suponga que la función cúbica f x x ax bx c tiene tres ceros diferentes:
a, b y c. Compruebe, con ayuda de un sistema algebraico para computadora, que una recta
tangente dibujada en el promedio de los ceros a y b interseca la gráfica de f en el tercer
cero.
23. ¿Para qué valor de k la ecuación e 2x ksx tiene exactamente una solución?
24. ¿Para qué números positivos a se cumple que a x 1 x para toda x?
25. Si
y
1
demuestre que y .
a cos x
x
sa 2 1 2
sa 2 1 arctan
sen x
a sa 2 1 cos x
26. Dada una elipse x 2 a 2 y 2 b 2 1, donde a b, encuentre la ecuación de todo el conjunto
de puntos a partir de los cuales hay dos tangentes a la curva cuyas pendientes son (a) recíprocos
y (b) recíprocos negativos.
27. Encuentre los dos puntos sobre la curva y x 4 2x 2 x que tienen una recta tangente en
común.
28. Suponga que tres puntos sobre la parábola y x 2 tienen la propiedad de que sus rectas normales
se cruzan en un punto común. Demuestre que la suma de sus coordenadas x es cero.
29. Un punto de reticulado sobre el plano es un punto con coordenadas enteras. Suponga
que se dibujan círculos con radio r usando todos los puntos reticulados como centros.
2
Encuentre el valor más pequeño de r tal que cualquier recta con pendiente 5 cruce alguno
de estos círculos.
30. Un cono de radio r centímetros y altura h centímetros se introduce por la punta con una
rapidez de 1 cm/s en un cilindro alto de radio R centímetros que contiene una parte de
agua. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua en el instante en que el cono está totalmente
sumergido?
31. Un recipiente en forma de un cono invertido tiene una altura de 16 cm y su radio mide
5 cm en la parte superior. Está lleno en parte con un líquido que escurre por los lados
con una rapidez proporcional al área del recipiente que está en contacto con el líquido.
[El área superficial de un cono es rl, donde r es el radio y l es la altura inclinada.]
Si vierte líquido en el recipiente a razón de 2 cm 3 min, entonces la altura del líquido
disminuye a razón de 0.3 cm/min cuando la altura es de 10 cm. Si el objetivo es mantener
el líquido a una altura constante de 10 cm, ¿en que proporción debe verter líquido al
recipiente?
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