calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 67
y
y
x=2
y
x=2
y=ln x
y=ln(x-2)
y=ln(x-2)-1
0
(1, 0) x
0 2 (3, 0)
x
0
2 x
(3, _1)
FIGURA 14
y
1
y=œ„x
y=ln x
Si bien ln x es una función creciente, crece muy despacio cuando x 1. De hecho,
ln x crece más despacio que cualquier potencia positiva de x. Para ilustrar este hecho,
compare valores aproximados de las funciones y ln x y y x 12 sx en la tabla siguiente
que aparecen dibujados en las figuras 15 y 16. Podrá observar que en un principio
las gráficas de y sx y y ln x crecen en cantidades similares, pero en algún momento
la función raíz rebasa por mucho al logaritmo.
0
1
x
FIGURA 15
x 1 2 5 10 50 100 500 1000 10 000 100 000
ln x 0 0.69 1.61 2.30 3.91 4.6 6.2 6.9 9.2 11.5
sx
1 1.41 2.24 3.16 7.07 10.0 22.4 31.6 100 316
y
y=œ„x
ln x
sx
0 0.49 0.72 0.73 0.55 0.46 0.28 0.22 0.09 0.04
20
y=ln x
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
0
FIGURA 16
1000
x
Cuando tratamos de calcular las funciones trigonométricas inversas hay una pequeña dificultad:
puesto que las funciones trigonométricas no son uno a uno o biunívocas, no tienen
funciones inversas. La dificultad se vence restringiendo los dominios de estas funciones de
modo que se transformen en uno a uno.
Observe en la figura 17 que la función seno y sen x no es uno a uno (aplique la prueba
de la línea horizontal). Pero la función f x sen x, 2 x 2 (véase figura 18)
es uno a uno. La función inversa de la función seno f(x) restringida existe y se denota mediante
sen 1 o arcsen. Se llama función inversa del seno o función arco seno.
y
y=sen x
y
_ π 2
_π 0 π π x
2
0
π
2
x
FIGURA 17
π
FIGURA 18 y=sen x, _ ¯x¯π
2
2
Puesto que la definición de una función inversa establece que
f 1 x y
&?
f y x