calculo-de-una-variable-1

462 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
ESTRATEGIA PARA EVALUAR y sen m x cos n x dx
(a) Si la potencia de coseno es impar n 2k 1, ahorre un factor coseno y use
cos 2 x 1 sen 2 x para expresar los demás factores en términos de seno:
y sen m x cos 2k1 x dx y sen m x cos 2 x k cos x dx
Después sustituya u sen x.
(b) Si la potencia de seno es impar m 2k 1, ahorre un factor seno y use
sen 2 x 1 cos 2 x para expresar los factores restantes en términos de coseno:
Después sustituya u cos x. [Note que si las potencias de seno y coseno son
impares, se puede usar (a) o (b).]
(c) Si las potencias de seno y coseno son pares, use las identidades de la mitad de
un ángulo
sen 2 x 1 2 1 cos 2x
Algunas veces es útil usar la identidad
y sen m x 1 sen 2 x k cos x dx
y sen 2k1 x cos n x dx y sen 2 x k cos n x sen x dx
y 1 cos 2 x k cos n x sen x dx
sen x cos x 1 2 sen 2x
cos 2 x 1 21 cos 2x
Se puede usar una estrategia similar para evaluar integrales de la forma x tan m x sec n x dx.
Puesto que ddx tan x sec 2 x, se puede separar un factor sec 2 x y convertir la potencia
restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la
identidad sec 2 x 1 tan 2 x. O bien, puesto que ddx sec x sec x tan x, se puede separar
un factor sec x tan x y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
V
EJEMPLO 5 Evalúe y tan 6 x sec 4 x dx.
SOLUCIÓN Si se separa un factor sec 2 x, se puede expresar el factor restante sec 2 x en términos
de la tangente por medio de la identidad sec 2 x 1 tan 2 x. Se puede evaluar la
integral sustituyendo u tan x con du sec 2 x dx:
y tan 6 x sec 4 x dx y tan 6 x sec 2 x sec 2 x dx
y tan 6 x 1 tan 2 x sec 2 x dx
y u 6 1 u 2 du y u 6 u 8 du
u 7
7 u 9
9 C
1 7 tan 7 x 1 9 tan 9 x C