calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL |||| 239
Puede ver que el pago del interés se incrementa cuando el número de periodos compuesto
(n) se incrementa. Si permite que n → entonces, estará componiendo el interés de manera
continua; el valor de la inversión será
(donde m n/r)
Pero el límite en esta expresión es igual al número e. (Véase la ecuación 3.6.6). Así, componiendo
en forma continua con una tasa de interés r, la cantidad después de t años es
Si deriva esta función, obtiene
At lím A
n
01 r lím
l nnt
A 0 lím
A 0 lím
r n/rrt
n l1
n
1 mrt
m l1
m
At A 0 e rt
A
n
01 r n/rrt
l n
dA
dt
rA 0 e rt rAt
la cual dice que, componiendo continuamente el interés, la proporción de incremento de una
inversión es proporcional a su tamaño.
Regresando al ejemplo de 1000 dólares invertidos por 3 años al 6% de interés anual, el
valor de la inversión será
A3 $1000e 0.063 $1197.22
Observe cómo se acerca a la cantidad calculada por componer diariamente 1197.20 dólares.
Pero es más fácil calcular la cantidad si aplica composición continua.
3.8
EJERCICIOS
1. Una población de protozoarios se desarrollan en una razón de
crecimiento relativo constante de 0.7944 por miembro por cada
día. En el día cero la población consiste de dos miembros. Hallar
el tamaño de la población después de seis días.
2. Un habitante común del intestino humano es la bacteria
Escherichia coli. Una célula de esta bacteria en un caldo
nutriente se divide en dos células cada 20 minutos. La
población inicial de un cultivo es de 60 células
(a) Hallar la razón de crecimiento relativo.
(b) Encontrar una expresión para el número de células después
de t horas.
(c) Calcular el número de células después de 8 horas.
(d )Establecer la razón de crecimiento después de 8 horas.
(e )¿Cuándo la población alcanzará 20 000 células.
3.
Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 células y crece en
una cantidad proporcional a su tamaño. Después de 1 hora la
población se ha incrementado a 420.
(a) Establecer una expresión para el número de bacterias
después de t horas.
(b) Calcular el número de bacterias después de 3 horas.
(c) Encuentre la tasa de crecimiento después de 3 horas.
(d) ¿Cuándo la población alcanza 10 000?
4. Un cultivo de bacterias crece con una rapidez de crecimiento
relativo constante. Después de 2 horas existen 600 bacterias y
después de 8 horas la cuenta es de 75 000.
(a) Hallar la población inicial.
(b )Establecer una expresión para la población después de
t horas.