calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 121
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DEFINICIÓN
Una función f es continua desde la derecha en un número a si
lím f x f a
x la y f es continua desde la izquierda en a si
lím f x f a
xla
EJEMPLO 3 En cada entero n, la función fx x véase la figura 3(d) es continua desde
la derecha pero discontinua desde la izquierda porque
lím
x ln
f x lím x n f n
x ln
pero
lím f x lím x n 1 f n
xln xln
3 DEFINICIÓN Una función f es continua sobre un intervalo si es continua en
todo número en el intervalo. (Si f se define únicamente en un lado de un punto extremo
del intervalo, continua quiere decir continua desde la derecha o continua
desde la izquierda.)
EJEMPLO 4 Demuestre que la función
intervalo 1, 1.
f x 1 s1 x 2 es continua sobre el
SOLUCIÓN Si 1 a 1 entonces, al aplicar las leyes de los límites
lím f x lím (1 s1 x 2 )
x l a x l a
1 lím
x l a
s1 x 2
1 s lim
x l a 1 x 2
1 s1 a 2
(por las leyes 2 y 7)
(por la ley 11)
(por las leyes 2, 7 y 9)
y
1
ƒ=1-œ„„„„„ 1-≈
fa
De suerte que por la definición 1, f es continua en a si 1 a 1. Cálculos similares
hacen ver que
lím f x 1 f 1
x l1
y
lím f x 1 f 1
xl1
-1
FIGURA 4
0
1
x
de modo que f es continua desde la derecha en 1 y continua desde la izquierda en 1.
Por consiguiente, según la definición 3, f es continua sobre 1, 1.
En la figura 4 se ilustra la gráfica de f. Es la mitad inferior de la circunferencia
x 2 y 1 2 1
En lugar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 y 3 para comprobar la continuidad
de una función, como en el ejemplo 4, a menudo resulta conveniente aplicar el teorema
siguiente, el cual muestra cómo formar funciones continuas complicadas a partir de funciones
sencillas.