calculo-de-una-variable-1

444 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
El teorema del valor medio para integrales es una consecuencia del teorema del valor
medio para las derivadas y el teorema fundamental del cálculo. La demostración se esboza
en el ejercicio 23.
La interpretación geométrica del teorema del valor medio para integrales es que, para
funciones positivas f, hay un número c tal que el rectángulo con base a, b y altura f c
tiene la misma área que la región bajo la gráfica de f desde a hasta b. (Véase figura 2 y la
interpretación más clara en la nota al margen.)
& Siempre se puede cortar una parte de lo alto
de una (dos dimensiones) montaña hasta una
cierta altura, y usarla para rellenar con eso los
valles de tal modo que la montaña se vuelva
completamente plana.
y
y=ƒ
f(c)=f prom
FIGURA 2
0 a c b x
V EJEMPLO 2 Puesto que f x 1 x 2 es continua en el intervalo 1, 2, el teorema
del valor medio para integrales establece que hay un número c en 1, 2 tal que
y
y=1+≈
(2, 5)
y 2 1 x 2 dx f c2 1
1
En este caso particular puede hallar c, en forma explícita. Según el ejemplo 1, sabe que
f prom 2, de modo que el valor de c cumple con
(_1, 2)
f c f prom 2
f prom =2
Por lo tanto
1 c 2 2
de modo que
c 2 1
_1
FIGURA 3
0 1 2
x
Por consiguiente, sucede en este caso que hay dos números c 1 en el intervalo
1, 2 que funciona en el teorema del valor medio para las integrales.
Los ejemplos 1 y 2 se ilustran mediante la figura 3.
V EJEMPLO 3 Demuestre que la velocidad promedio de un automóvil en un intervalo de
tiempo t 1 , t 2 es la misma que el promedio de sus velocidades durante el viaje.
SOLUCIÓN Si st es el desplazamiento del automóvil en el tiempo t, entonces, por definición,
la velocidad promedio del automóvil en el intervalo es
s
t st 2 st 1
t 2 t 1
Por otro lado, el valor promedio de la función de velocidad en el intervalo es
v prom 1
t 2 t 1
y t 2
vt dt 1
t 1 t 2 t 1
y t 2
t 1
st dt
1
t 2 t 1
st 2 st 1
(según el teorema del cambio total)
st 2 st 1
t 2 t 1
velocidad promedio