calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
1. (a) Encuentre una función f continua positiva tal que el área bajo la gráfica de f desde 0
hasta t es At t 3 para toda t 0.
(b) Se genera un sólido al hacer girar alrededor del eje x la región bajo la curva y f x,
donde f es una función positiva y x 0. El volumen generado por la parte de la curva
desde que x 0 hasta x b es b 2 para toda b 0. Determine la función f.
2. Hay una recta que pasa por el origen que divide la región definida por la parábola
y el eje x en dos regiones de área igual. ¿Cuál es la pendiente de la recta?
y x x 2
y
y=8x-27˛
y=c
0 x
FIGURA PARA EL PROBLEMA 3
3. En la figura se ilustra una horizontal y c que corta a la curva y 8x 27x 3 . Encuentre el
número c tal que las áreas de las regiones sombreadas sean iguales.
4. Un recipiente de vidrio, cilíndrico, de radio r y altura L se llena con agua y luego se ladea
hasta que el agua que queda en el recipiente cubra exactamente la base.
(a) Determine una manera de “rebanar” el agua en secciones transversales, rectangulares y
paralelas, y luego plantee una integral definida para determinar el volumen del agua en el
recipiente.
(b) Encuentre una manera de obtener “rebanadas” de agua que sean secciones transversales y
paralelas, pero que sean trapezoides, y luego plantee una integral definida para obtener el
volumen del agua.
(c) Calcule el volumen de agua en el recipiente evaluando una de las integrales de los incisos
(a) o (b).
(d) Calcule el volumen del agua en el recipiente a partir de consideraciones puramente
geométricas.
(e) Suponga que el recipiente se ladea hasta que el agua cubre exactamente la mitad de la
base. ¿En qué dirección puede “rebanar” el agua en secciones transversales triangulares?
¿Y en secciones transversales rectangulares? ¿En secciones transversales que son segmentos
de círculos? Determine el volumen del agua en el recipiente.
L
L
r
r
5. (a) Demuestre que el volumen de un segmento de altura h de una esfera de radio r es
r
V 1 3 h 2 3r h
(b) Demuestre que si una esfera de radio 1 se corta mediante un plano a una distancia x desde
el centro de tal manera que el volumen de un segmento es el doble del volumen del otro,
entonces x es una solución de la ecuación.
FIGURA PARA EL PROBLEMA 5
h
3x 3 9x 2 0
donde 0 x 1. Aplique el método de Newton para determinar una x exacta con cuatro
cifras decimales.
(c) Utilice la fórmula del volumen de un segmento de una esfera para demostrar que la
profundidad x a la cual una esfera flotante de radio r se hunde en el agua es una raíz de
la ecuación
x 3 3rx 2 4r 3 s 0
donde s es la densidad relativa de la esfera. Suponga que una esfera de madera de radio
igual a 0.5 m tiene densidad relativa de 0.75. Calcule la profundidad, con cuatro cifras
decimales, a la cual la esfera se hunde.
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