calculo-de-una-variable-1

464 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades,
integración por partes y, ocasionalmente, un poco de inventiva. A veces será necesario
poder integrar tan x por medio de la fórmula establecida en (5.5.5):
Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
y sec x dx ln sec x tan x C
1
y tan x dx ln sec x C
Se podría comprobar la fórmula 1 mediante la derivación de lado derecho, o como sigue.
Primero se multiplican numerador y denominador por sec x tan x:
y sec x dx y sec x
Si se sustituye u sec x tan x, después du sec x tan x sec 2 x dx, también, la
integral se convierte en
. Así, se tiene
x 1u du ln u C
sec x tan x
sec x tan x dx
y sec2 x sec x tan x
sec x tan x
y sec x dx ln sec x tan x C
dx
EJEMPLO 7 Encuentre y tan 3 x dx.
SOLUCIÓN Aquí sólo ocurre tan x, de modo que se emplea tan 2 x sec 2 x 1 para reescribir
un factor tan 2 x en términos de sec 2 x:
y tan 3 x dx y tan x tan 2 x dx
y tan x sec 2 x 1 dx
y tan x sec 2 x dx y tan x dx
tan2 x
2
ln sec x C
En la primera integral se sustituye mentalmente u tan x de modo que du sec 2 x dx.
Si aparece una potencia par de tangente con una potencia impar de secante, es útil
expresar el integrando completamente en términos de sec x. Las potencias de sec x podrían
requerir integración por partes, como se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 8 Encuentre y sec 3 x dx.
SOLUCIÓN Aquí se integra por partes con
u sec x dv sec 2 x dx
du sec x tan x dx v tan x