calculo-de-una-variable-1

748 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
PROYECTO DE
LABORATORIO
CAS
UN LÍMITE ESCURRIDIZO
Este proyecto es sobre la función
sentan x tansen x
f x
arcsenarctan x arctanarcsen x
1. Utilice su sistema algebraico computacional para evaluar fx para x 1, 0.1, 0.01, 0.001,
y 0.0001. ¿Parece tener f un límite cuando x l 0?
2. Use el CAS para dibujar f cerca de x 0. ¿Parece tener f un límite cuando x l 0?
3. Intente evaluar lím x l 0 fx con la regla de l’Hospital, usando el CAS para hallar las derivadas
del numerador y el denominador. ¿Qué descubrió? ¿Cuántas aplicaciones de la
regla de l’Hospital se requieren?
4. Evalúe lím x l 0 fx con ayuda del CAS para encontrar la cantidad suficiente de términos de
la serie de Taylor del numerador y el denominador. (Utilice el comando taylor en Maple o
Series en Mathematica).
5. Utilice el comando límite en su CAS para calcular directamente lím x l 0 fx (La mayor
parte de los sistemas algebraicos computacionales utilizan el método del problema 4 para
calcular límites.)
6. En vista de las respuestas a los problemas 4 y 5, ¿cómo explica los resultados de los
problemas 1 y 2?
REDACCIÓN
DE PROYECTO
CÓMO DESCUBRIÓ NEWTON LA SERIE BINOMIAL
El Teorema Binomial, que proporciona el desarrollo de a b k , ya lo conocían los matemáticos
chinos muchos siglos antes de que naciera Newton, en especial para el caso donde el exponente k
es un entero positivo. En 1665, cuando Newton tenía 22 años, descubrió por primera vez el desarrollo
de la serie infinita a b k cuando k es un exponente fraccionario, positivo o negativo. No publicó
sus descubrimientos, pero los planteó y proporcionó ejemplos de cómo usarlos en una carta
de fecha 13 de junio de 1676, carta que (ahora se llama epistola prior), que envió a Henry
Oldenburg, secretario de la Royal Society of London, para que la transmitiera a Leibniz. Cuando
éste contestó, le preguntó a Newton cómo había descubierto las series binomiales. Newton escribió
una segunda carta, la epistola posterior, del 24 de octubre de 1676, en la cual explica con lujo
de detalles la manera como llegó a su descubrimiento mediante una ruta muy indirecta. Estaba
investigando las áreas bajo las curvas y 1 x 2 n2 de 0 a x para n 0,1,2,3,4,.... Son fáciles
de calcular si n es par. Al observar patrones y al interpolar, Newton fue capaz de adivinar
las respuestas de valores impares de n. Por lo tanto se dio cuenta de que podía obtener las mismas
respuestas expresando 1 x 2 n2 como una serie infinita.
Escriba un ensayo sobre el descubrimiento de Newton. Inicie dando el enunciado de serie
binomial en la notación de Newton (véase epistola prior en la página 285 de [4] o la página 402
de [2]). Explique por qué la versión de Newton es equivalente al teorema 17 de la página 742.
Luego lea la epistola posterior de Newton (página 287 de [4] o página 404 de [2]) y explique los
patrones que descubrió Newton en las áreas bajo las curvas y 1 x 2 n2 . Muestre cómo
podía él calcular el área bajo las curvas restantes y cómo comprobó su respuesta. Para finalizar,
explique cómo estos descubrimientos llevaron a las series binomiales. Los libros de
Edwards [1] y Katz [3] contienen comentarios de las cartas de Newton.
1. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus, Nueva York: Springer-Verlag,
1979, pp. 178-187.
2. John Fauvel y Jeremy Gray, eds., The History of Mathematics: A Reader, Londres:
MacMillan Press, 1987.
3. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction, Nueva York: HarperCollins, 1993,
pp. 463-466.
4. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800, Princeton, N.J.: Princeton University
Press, 1969.