calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 41
y
_1 0 1
x
V EJEMPLO 5 Dibuje la función .
SOLUCIÓN En primer lugar, dibuje la parábola y x 2 1 de la figura 10(a) desplazando la
parábola y x 2 hacia abajo 1 unidad. La gráfica se encuentra debajo del eje x cuando
1 x 1, de modo que reflejamos esa parte de la gráfica respecto al eje x para obtener
la gráfica de de la figura 10(b)
y x 2 1
y x 2 1
(a) y=≈-1
y
COMBINACIONES DE FUNCIONES
Se pueden combinar las dos funciones f y t para formar funciones nuevas f t, f t, ft y
ft de manera semejante a la que aplica para sumar, restar, multiplicar y dividir números
reales. Se definen la suma y resta de funciones mediante
f tx f x tx
f tx f x tx
_1 0 1
x
(b) y=| ≈-1 |
FIGURA 10
Si el dominio de f es A y el de t es B, entonces el dominio de f t es la intersección
A B porque tanto f x y tx estan definidas. Por ejemplo, el dominio de f x sx es
A 0, y el dominio de tx s2 x es B , 2, de esa manera, el dominio de
f tx sx s2 x es A B 0, 2
De manera análoga, se definen el producto y el cociente mediante
f tx f x tx
f tx f x
tx
El dominio de ft es A B, pero, como no se puede dividir entre 0, el dominio de ft es
x A B t x 0. Por ejemplo, si f x x 2 y tx x 1, entonces, el dominio
de la función racional f gx x 2 x 1 es xx 1, o bien ,1 1, .
Existe otra manera de combinar dos funciones, para obtener una función nueva. Por
ejemplo, considere que y fu su y u gx x 2 1. Ya que y es una función de
u y u es función de x, se sigue que y es finalmente función de x. Calculamos esto por
sustitución
y f u f(gx fx 2 1 sx 2 1
x (entrada)
g
©
f • g
El procedimiento se denomina composición porque la función nueva es compuesta de las
dos funciones conocidas f y t.
En general, conocidas dos funciones cualesquiera f y t, inicie con un número x en el
dominio de t y halle su imagen g x. Si este número g x está en el dominio de f, entonces
puede calcular el valor de f gx. El resultado es una función nueva hx fgx que se
obtiene al sustituir t en f. Esto se denomina composición (o composite) de f y t y se señala
mediante f t (“ f círculo t”)
f
f{©} (salida)
DEFINICIÓN Conocidas dos funciones f y t, la función compuesta
denominada la composición de f y t) se define mediante
f tx fgx
f t (también
FI GURA 11
El dispositivo f • g está constituido
del dispositivo g (primero) y
en seguida el dispositivo f.
El dominio de f t es el conjunto de todas las x en el dominio de t tal que g x está en
el dominio de f . En otras palabras, f tx está definida cada vez que g x y f gx estén
definidas. La figura 11 exhibe cómo describir f t en términos de dispositivos.