calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.2 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS |||| 463
EJEMPLO 6 Encuentre y tan 5 sec 7 d.
SOLUCIÓN Si se separa un factor como en el ejemplo precedente, queda un factor
sec 5
sec 2
, que no se convierte con facilidad a tangente. Sin embargo, si se separa un factor
sec tan , se puede convertir la potencia restante en una expresión que implica sólo la
secante por medio de la identidad tan 2 sec 2 1. Por lo tanto se puede evaluar
la integral sustituyendo u sec , de modo que du sec tan d:
y tan 5 sec 7 d y tan 4 sec 6 sec tan d
y sec 2 1 2 sec 6 sec tan d
y u 2 1 2 u 6 du y u 10 2u 8 u 6 du
u 11
11 2 u 9
9 u 7
7 C
1 11 sec 11 2 9 sec 9 1 7 sec 7 C
En los ejemplos anteriores, se demuestran estrategias diferentes para evaluar integrales
de la forma x tan m x sec n x dx para dos casos, que se resumen aquí.
ESTRATEGIA PARA EVALUAR y tan m x sec n x dx
(a) Si la potencia de la secante es par n 2k, k 2, ahorre un factor de sec 2 x y use
sec 2 x 1 tan 2 x para expresar los demás factores en términos de tan x:
y tan m x sec 2k x dx y tan m x sec 2 x k1 sec 2 x dx
y tan m x 1 tan 2 x k1 sec 2 x dx
Luego sustituya u tan x.
(b) Si la potencia de la tangente es impar m 2k 1, guarde un factor de
sec x tan x y use tan 2 x sec 2 x 1 para expresar los demás factores en términos
de sec x:
y tan 2k1 x sec n x dx y tan 2 x k sec n1 x sec x tan x dx
y sec 2 x 1 k sec n1 x sec x tan x dx
Después sustituya u sec x.