calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.8 INTEGRALES IMPROPIAS |||| 513
V EJEMPLO 6 Determine si
sec x dx converge o diverge.
SOLUCIÓN Note que la integral dada es impropia porque lím x l/2 sec x . Si usa el
inciso (a) de la definición 3 y la fórmula 14 de la tabla de integrales, se tiene
y
0
/2
y
sec x dx lím y t
t l /2
0
/2
0
sec x dx
lím lnsec t tan t ln 1
t l /2
lím ln
t l /2
sec x tan x t
] 0
porque sec t l y tan t l cuando t l 2 . Así, la integral impropia dada es
divergente.
EJEMPLO 7 Evalúe
y 3
0
dx
x 1
si es posible.
SOLUCIÓN Observe que la recta x 1 es una asíntota vertical del integrando. Puesto
que aparece a la mitad del intervalo 0, 3, se debe usar el inciso (c) de la definición
3 con c 1:
y 3 dx
0 x 1 y 1 dx
0 x 1 y 3 dx
1 x 1
donde
y 1
0
dx
x 1 lím y t
t l1 0
dx
x 1 lím
t l1 ln x 1 ] 0
t
lím
t l1 (ln t 1 ln 1 )
lím ln1 t
t l1
debido a 1 t l 0 cuando t l . Así, x 1 1 dxx 1 es divergente. Esto significa que
0
dxx 1 es divergente. [No es necesario evaluar dxx 1.]
x3 0
x 3 1
| ADVERTENCIA Si no se hubiera notado la asíntota x 1 en el ejemplo 7 y se hubiera
confundido la integral con una integral ordinaria, entonces se podría haber hecho el
siguiente cálculo erróneo:
y 3
0
dx
x 1 ln x 1 ] 3 0 ln 2 ln 1 ln 2
Esto es incorrecto porque la integral es impropia y se debe calcular en términos de límites.
De ahora en adelante, siempre que se encuentre el símbolo x b f x dx se debe decidir,
a
observando la función f en a, b, si es una integral definida ordinaria o una integral
impropia.
y 1
0
EJEMPLO 8 Evalúe ln x dx.
SOLUCIÓN Se sabe que la función f x ln x tiene una asíntota vertical en 0 puesto que
lím x l 0 ln x . Así, la integral dada es impropia y se tiene
y 1
ln x dx lím
0
t l 0
y 1
t
ln x dx