calculo-de-una-variable-1

234 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
de ahorros con interés compuesto se incrementa de manera continua en una cantidad proporcional
a ese valor.
En general, si y(t) es el valor de una cantidad y en el tiempo t y si la razón de cambio
de y con respecto a t es proporcional a su tamaño y(t) en cualquier tiempo, entonces
1
dy
dt
ky
donde k es una constante. Algunas veces la ecuación 1 se le llama ley de crecimiento natural
(si k 0) o la ley de decaimiento natural (si k 0). Se le denomina una ecuación
diferencial porque involucra una función desconocida y y su derivada dy/dt.
No es dificil pensar una solución de la ecuación 1. Esta ecuación pregunta hallar una
función cuya derivada es un múltiplo constante de sí mismo. Conocerá tales funciones en
este capítulo. Cualquier función exponencial de la forma y(t) Ce kt , donde C es una constante,
que satisface
yt Cke kt kCe kt kyt
Verá en la sección 9.4 que cualquier función que satisface dy/dt ky es de la forma Y Ce kt .
Para ver el significado de la constante C, observe que
y0 Ce k0 C
En consecuencia C es el valor inicial de la función
2 TEOREMA Las únicas soluciones de la ecuación diferencial y dy/dt ky son
las funciones exponenciales
yt y0e kt
CRECIMIENTO DE POBLACIÓN
¿Cuál es el significado de la constante de proporcionalidad k? En el panorama del crecimiento
de la población, cuando P(t) es el tamaño de una población en el tiempo t, escriba
3
dP
dt
kP
o
1
P
dP
dt
k
La cantidad
1
P
dP
dt
es la rapidez de crecimiento dividido entre el tamaño de la población; a esto se le denomina
la razón de crecimiento relativa. De acuerdo a (3), en lugar de decir “la rapidez
de crecimiento es proporcional al tamaño de la población” podría decir “la rapidez de crecimiento
relativo es constante.” Por lo tanto, de acuerdo a (2) dice que la población con
rapidez de crecimiento relativo k aparece como el coeficiente de t en la función exponencial
Ce kt . Por ejemplo, si
dP
dt
0.02P