calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 383
4
tx h tx
tx lím
f x
h l 0 h
Si x a o b, entonces la ecuación 4 se puede interpretar como un límite unilateral.
Entonces el teorema 2.8.4 (modificado para límites unilaterales), muestra que t es continua
en a, b.
De acuerdo con la notación de Leibniz para las derivadas, puede expresar al TFC1
como
5
d
y x
f t dt f x
dx a
cuando f es continua. En términos generales, la ecuación 5 establece que si primero integra
f y luego obtiene la derivada del resultado, regresa a la función original f.
V
EJEMPLO 2 Encuentre la derivada de la función tx y x
s1 t 2 dt.
0
SOLUCIÓN Puesto que
cálculo da
f t s1 t 2
es continua, la parte 1 del teorema fundamental del
tx s1 x 2
y
1
f
S
EJEMPLO 3 Si bien una fórmula de la forma tx x x f t dt puede parecer una forma
a
extraña de definir una función, los libros de física, química y estadística están llenos de
funciones semejantes. Por ejemplo, la función de Fresnel
0 1
x
FIGURA 7
ƒ=sen(π≈/2)
x
S(x)=j sen(πt@/2) dt
0
Sx y x
sent 2 2 dt
0
recibe ese nombre en honor del físico francés Augustin Fresnel (1788-1827), quien
es famoso por su trabajo en la óptica. Esta función apareció por primera vez en la teoría
de Fresnel de la difracción de la luz, pero a últimas fechas se ha aplicado al diseño de
autopistas.
La parte 1 del teorema fundamental indica cómo derivar la función de
Fresnel:
FIGURA 8
La función de Fresnel
x
S(x)=j sen(πt@/2) dt
0
y
0.5
1
x
Sx senx 2 2
Esto significa que puede aplicar todos los métodos del cálculo diferencial para analizar S
(véase el ejercicio 61).
En la figura 7 se muestran las gráficas de f x senx 2 2 y de la función
de Fresnel Sx x x f t dt . Se usó una computadora para dibujar S por medio de calcular
el valor de esta integral para muchos valores de x. Evidentemente parece que Sx es
0
el área debajo de la gráfica de f de 0 hasta x hasta que x 1.4 cuando Sx se convierte
en una diferencia de áreas. La figura 8 muestra una gran parte más grande de la gráfica
de S.
Si ahora empieza por la gráfica de S de la figura 7 y piensa en qué aspecto debe tener
su derivada, parece razonable que Sx f x. Por ejemplo, S es creciente cuando
f(x) 0 y decreciente cuando f(x) 0. De modo que esto da una confirmación
visual de la parte 1 del teorema fundamental del cálculo.