calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 45
51. Use las gráficas dadas de f y t para evaluar cada expresión, o
bien, explique por qué no está definida.
(a) f t2 (b) t f 0
(c) f t0
(d) t f 6 (e) t t2 (f) f f 4
52. Use las gráficas dadas de f y t para estimar el valor de f tx
para x 5, 4, 3, . . . , 5. Use estas estimaciones para trazar
una gráfica aproximada de f t.
53.
f
y
0
2
y
1
Se deja caer una piedra en un lago, que crea una ola circular
que viaja hacia afuera con rapidez de 60 cm/s.
(a) Exprese el radio r de este círculo como función del tiempo
t (en segundos).
(b) Si A es el área de este círculo como función del radio, encuentre
A r e interprétela.
54. Se infla un balón esférico y el radio del mismo se incrementa
en una cantidad de 2 cm/s.
(a) Exprese el radio r del balón como una función del tiempo t
(en segundos).
(b) Si V es el volumen del balón como una función del radio,
halle V r e interprete
55. Un barco se mueve con una rapidez de 30 km/h paralelo al
borde recto de la playa. El barco está a 6 km de la playa y pasa
por un faro al medio día.
(a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una
función de d, la distancia que el barco recorre desde el
medio día; es decir, hallar f de modo que s f(d)
(b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido desde
el medio día; es decir, hallar g de tal manera que d g(t)
(c) Hallar f g ¿Qué representa esta función?
56. Un avión vuela con rapidez de 350 mi/h, a una altitud de una
milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el
instante t 0
(a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha
volado como función de t.
(b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar
como función de d.
(c) Aplique la composición para expresar s como función de t.
g
2
0 1
g
f
x
x
57. La función de Heaviside H está definida por
Ht 0 1
si t 0
si t 0
Se usa en el estudio de los circuitos eléctricos para representar la
oleada repentina de corriente eléctrica, o de voltaje, cuando un interruptor
se cierra instantáneamente.
(a) Dibuje la función de Heaviside.
(b) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor
se cierra en el instante t 0 y se aplican instantáneamente
120 volts al circuito. Escriba una fórmula para
V(t) en términos de H(t).
(c) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor se cierra
en el instante t 5 segundos y se aplican de manera
instantánea 240 volts al circuito. Escriba una fórmula para
V(t) en términos de H(t). (Note que partir de t 5 corresponde
a una traslación.)
58. La función de Heaviside que se definió en el ejercicio 57 puede
utilizarse también para definir la función rampa y ctH(t), la
cual representa un aumento gradual del voltaje o la corriente en
un circuito.
(a) Dibuje la función rampa y tH(t).
(b) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito si el interruptor se cierra
en el instante t 0 y el voltaje se incrementa gradualmente
hasta 120 volts durante un intervalo de 60 segundos. Escriba
una fórmula para V(t) en términos de H(t), para t 60.
(c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor
se cierra en el instante t 7 segundos y el voltaje
se incrementa gradualmente hasta 100 volts durante un
periodo de 25 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en
términos de H(t), para t 32.
59. Sea f y g funciones lineales con ecuaciones fx m 1x b 1 y
gx m 2x b 2 . ¿También f g es una función lineal? Si es
así, ¿cuál es la pendiente de su gráfica?
60. Si invierte x dolares al 4% de interés compuesto anual, por
lo tanto la cantidad A(x) de la inversios después de un año es
A(x) 1.04x. Hallar A A, A A A, y A A A A . ¿Qué
representan estas composiciones? Encontrar una formula
para la composición de n copias de A.
61. (a) Si tx 2x 1 y hx 4x 2 4x 7, encuentre una
función f tal que f t h. (Piense qué operaciones tendrá
que efectuar en la formula para t para terminar por obtener
la fórmula para h.)
(b) Si f x 3x 5 y hx 3x 2 3x 2, encuentre una
función t tal que f t h.
62. Si f x x 4 y hx 4x 1, encuentre una función tal
que t f h.
63. (a) Suponga que f y t son funciones pares. ¿Que puede decir
sobre f t y f t?
(b) ¿Que diría si f y t son impares?
64. Supongo que f es par y t es impar. ¿Que puede decir sobre ft?
65. Suponga que t es una función par y sea h f t. ¿h siempre es
una función par?
66. Suponga que t es una función impar y sea h f t.¿Es h
siempre una función impar? ¿Qué pasa si f es impar? ¿Qué
pasa si f es par?