calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ |||| 715
es absolutamente convergente porque
n1
1n1
n 2
es una serie p convergente p 2.
n1
1
n 2 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2
EJEMPLO 2 Ya sabe que la serie armónica alternante
1 n1
1 1
n1 n 2 1 3 1 4
es convergente (véase ejemplo 1 de la sección 11.5), pero no es absolutamente convergente
porque la serie correspondiente de valores absolutos es
n1
1n1
n
n1
1
n 1 1 2 1 3 1 4
que es la serie armónica (serie p con p 1) y, por lo tanto, es divergente.
2 DEFINICIÓN Una serie a n se llama condicionalmente convergente si es
convergente pero no absolutamente convergente.
En el ejemplo 2 se muestra que la serie armónica alternante es condicionalmente convergente.
En estos términos, es posible que una serie sea convergente, pero no absolutamente
convergente. No obstante, el teorema siguiente muestra que la convergencia absoluta significa
convergencia.
3
TEOREMA
Si una serie a n es absolutamente convergente, entonces es convergente.
& En la figura 1 se ilustran las gráficas de los
términos a n y las sumas parciales s n de la serie del
ejemplo 3. Observe que la serie no es alternante,
pero tiene términos positivos y negativos.
0.5
FIGURA 1
s n
a n
0 n
DEMOSTRACIÓN
Observe la desigualdad
es cierta porque a n es a n o bien, a n . Si a n es absolutamente convergente, entonces
a n es convergente, así que 2a n es convergente. Por lo tanto, según la prueba de
la comparación,
es convergente. Entonces,
(a n a n )
a n a n a n a n
es la diferencia de dos series convergentes y, por lo tanto, convergente.
V
EJEMPLO 3 Determine si la serie
es convergente o divergente.
0 a n a n 2 a n
cos n
cos 1 cos 2 cos 3
n1 n 2 1 2 2 2 3 2
SOLUCIÓN La serie posee términos tanto positivos como negativos, pero no es alternante.
(El primer término es positivo, los siguientes tres son negativos, y los otros tres que siguen
son positivos. Los signos no siguen un patrón regular.) Entonces puede aplicar la
prueba de comparación a la serie de valores absolutos
n1
cos n
n 2
n1
cos n
n 2