calculo-de-una-variable-1

3.1
DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES
y
c
y=c
pendiente=0
En esta sección aprenderá la manera de derivar funciones constantes, funciones de potencias,
polinomios y funciones exponenciales.
Empiece por la más sencilla de todas las funciones, la función constante f(x) c. La
gráfica de esta función es la recta horizontal y c, la cual tiene pendiente 0, de modo que
debe tener f(x) 0. (Véase la figura 1.) Una demostración formal, a partir de la definición
de derivada, también es fácil:
0 x
f x lím
h l 0
f x h f x
h
lím
h l 0
c c
h
lím
h l 0
0 0
FIGURA 1
La gráfica de ƒ=c es la
recta y=c, por tanto fª(x)=0
En la notación de Leibniz, se escribe está notación como sigue:
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE
y
0
y=x
pendiente=1
x
d
dx c 0
FUNCIONES POTENCIA
En seguida, se consideran las funciones f(x) x n , donde n es un entero positivo. Si n 1,
la gráfica de f(x) x es la recta y x, la cual tiene pendiente 1 (véase la figura 2). De
modo que
d
1 dx x 1
FIGURA 2
La gráfica de ƒ=x es la
recta y=x, por tanto fª(x)=1
(También puede comprobar la ecuación 1 a partir de la definición de derivada.) Ya ha investigado
los casos n 2 y n 3. En efecto, en la sección 2.8 (ejercicios 17 y 18),
encontró que
2
d
dx x 2 2x
d
dx x 3 3x 2
Para n 4, la derivada de f(x) x 4 , queda como sigue:
f x lím
h l 0
f x h f x
h
lím
h l 0
x h 4 x 4
h
lím
h l 0
x 4 4x 3 h 6x 2 h 2 4xh 3 h 4 x 4
h
lím
h l 0
4x 3 h 6x 2 h 2 4xh 3 h 4
h
lím
h l 0
4x 3 6x 2 h 4xh 2 h 3 4x 3
Así
3
d
dx x 4 4x 3
173