calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.2 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS |||| 633
y
SOLUCIÓN Un arco de la cicloide está dado por 0 u 2. Al usar la regla de sustitución
con y r1 cos u y dx r1 cos u du, se tiene
0
FIGURA 3
2πr
x
A y 2r
y dx y 2
r1 cos r1 cos d
0
r 2 y 2
1 cos 2 d r 2 y 2
1 2 cos cos 2 d
0
0
0
& El resultado del ejemplo 3 dice que el área
bajo un arco de la cicloide es tres veces el
área del círculo rodante que genera la cicloide
(véase el ejemplo 7 en la sección 10.1). Galileo
conjeturó este resultado, pero el matemático
francés Roberval y el matemático italiano
Torricelli lo demostraron primero.
LONGITUD DE ARCO
Ya se sabe cómo hallar la longitud L de una curva C dada en la forma y Fx,
a x b. La fórmula 8.1.3 dice que si F es continua, entonces
3
r 2 y 2
0
[1 2 cos 1 2 1 cos 2] d
r 2 [ 3 r 2 ( 3 2 2 sen 1 2
4 sen 2] 2 2) 3r 2
0
b
L y 1 dy 2
dx
a dx
Suponga que C se puede describir también mediante las ecuaciones paramétricas x f t y y
tt, a x b, donde dxdt f t 0. Esto significa que C es cruzada una vez, de
izquierda a derecha, cuando t se incrementa de a a b y f a a, f b b. Al sustituir la
fórmula 2 en la fórmula 3 y usar la regla de sustitución, se obtiene
b
L y 1 dy 2
dx
a dx y
1 dydt
dxdt
2 dx
dt dt
y
0
P¡
P
FIGURA 4
C
P¸
P i_ 1 P i
P n
x
Puesto que dxdt 0, se tiene
4
L y
dt
dx 2
dt
dy 2
dt
Incluso si C no se puede expresar en la forma y Fx, la fórmula 4 aún es válida pero
se obtiene por aproximaciones poligonales. Se divide el intervalo de parámetro ,
en n subintervalos de igual amplitud t. Si t 0 , t 1 , t 2 ,...,t n son los puntos finales de estos subintervalos,
después x i f t i y y i tt i son las coordenadas de los puntos P i x i , y i que yacen
en C y el polígono con vértices P 0 , P 1 ,...,P n se aproxima a C véase fig. 4.
Como en la sección 8.1, se define la longitud L de C como el límite de las longitudes
de estos polígonos de aproximación cuando n l :
L lím
n l
n
P i1P i
i1
El teorema del valor medio, cuando se aplica a f en el intervalo [t i1 , t i ], da un número t i * en
t i1 , t i tal que
f t i f t i1 f t i *t i t i1
Si se establece que x i x i x i1 y y i y i y i1 , esta ecuación se convierte en
x i f t i * t