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2 LÍMITES Y DERIVADAS La idea de un límite se ilustra mediante líneas secantes que se aproximan a una línea tangente. En la presentación preliminar del Cálculo (página 2) se ve cómo la idea de límite sustenta las diversas ramas del cálculo; de ahí la importancia de empezar el estudio de éste investigando los límites y sus propiedades. El tipo especial de límites utilizados para la obtención de tangentes y velocidades conducen a la idea central del Cálculo Diferencial: la derivada. 82
2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD En esta sección se analiza cómo surgen los límites cuando se intenta hallar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto. PROBLEMA DE LA TANGENTE (a) P t t C La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, la cual significa “tocar”. De este modo, una tangente a una curva es una recta que toca la curva. ¿De qué manera se puede precisar esta idea? Para una circunferencia podría seguirse la idea de Euclides y decir que una tangente es una recta que intersecta a la circunferencia una y sólo una vez como en la figura 1(a). Para curvas más complicadas, esta definición es inadecuada. En la figura 1(b), se muestran dos rectas, l y t, que intersectan a la curva C en un punto P. La recta l interseca C sólo una vez, pero es evidente que no se parece a lo que consideramos una tangente. Por otra parte, la recta t parece una tangente pero intersecta a la curva C dos veces. Para ser específicos, considere el problema de intentar hallar una recta tangente t a la parábola y x 2 en el ejemplo siguiente. l V EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y x 2 en el punto P1, 1. FIGURA 1 y=≈ y (b) Q{x, ≈} t P(1, 1) SOLUCIÓN Podremos obtener la ecuación de la recta tangente al conocer su pendiente. La dificultad es que se conoce sólo un punto P, de t, en tanto que necesitamos dos puntos para calcular la pendiente. Pero puede calcular una aproximación para m si elige un punto cercano Qx, x 2 de la parábola (como en la figura 2) y calcular la pendiente m PQ de la línea secante PQ. Elija x 1, de modo que Q P. Entonces m PQ x 2 1 x 1 0 x Por ejemplo, para el punto Q1.5, 2.25 FIGURA 2 m PQ 2.25 1 1.5 1 1.25 0.5 2.5 x m PQ 2 3 1.5 2.5 1.1 2.1 1.01 2.01 1.001 2.001 x m PQ 0 1 0.5 1.5 0.9 1.9 0.99 1.99 0.999 1.999 Las tablas en el margen muestran los valores de m PQ para varios valores de x cercanos a 1. Entre más cerca está Q de P, más lo está x de 1 y, por lo que se ve en las tablas, m PQ está más próxima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m 2. Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes y, simbólicamente, expresamos esto al escribir lím m PQ m Q lP y x 2 1 lím x l 1 x 1 2 Si supone que, en efecto, la pendiente de la recta tangente es 2, use la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta (véase el apéndice B) para escribir la ecuación de la recta tangente que pasa por 1, 1 como y 1 2x 1 o y 2x 1 83
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