calculo-de-una-variable-1

470 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
x
EJEMPLO 4 Encuentre y
.
sx 2 4 dx
SOLUCIÓN Sería posible usar aquí la sustitución trigonométrica x 2 tan (como en el
ejemplo 3). Pero la sustitución directa u x 2 4 es más simple, porque du 2x dx y
y
x
sx 2 4 dx 1 y du
2 su su C sx 2 4 C
NOTA En el ejemplo 4 se ilustra el hecho de que aun cuando son posibles las sustituciones
trigonométricas, es posible que no den la solución más fácil. Primero se debe buscar
un método más simple.
dx
EJEMPLO 5 Evalúe y , donde a 0.
sx 2 a 2
2
32
SOLUCIÓN 1 Sea x a sec , donde 0 o . Entonces
dx a sec tan d y
sx 2 a 2 sa 2 sec 2 1 sa 2 tan 2 a tan a tan
Por lo tanto,
y
dx
sx 2 a y a sec tan
2 a tan
d
¨
FIGURA 4
x
a
œ„„„„„ ≈-a@
y sec d ln sec tan C
El triángulo de la figura 4 da tan sx 2 a 2 a, así que se tiene
dx
y
sx 2 a
ln x 2 a sx 2 a 2
a
C
sec ¨= x a
ln x sx 2 a 2 ln a C
Al escribir C 1 C ln a, se tiene
1
y
dx
sx 2 a 2 ln x sx 2 a 2 C 1
SOLUCIÓN 2 Para x 0 se puede usar también la sustitución hiperbólica x a cosh t. Si se
emplea la identidad cosh 2 y senh 2 y 1, se tiene
sx 2 a 2 sa 2 cosh 2 t 1 sa 2 senh 2 t a senh t
Puesto que dx a senh t dt, se obtiene
y
dx
sx 2 a a senh t dt
y y dt t C
2 a senh t
Puesto que cosh t xa, se tiene t cosh 1 xa y
2
y
dx
sx 2 a 2 cosh1 x a C