calculo-de-una-variable-1

560 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
SOLUCIÓN
(a) Puesto que las puntuaciones CI tienen una distribución normal, se usa la función de
densidad de probabilidad dada por la ecuación 3 con y :
P85 X 115 y 115
Recuerde de la sección 7.5 que la función y e x 2
no tiene una antiderivada elemental,
así que no se puede evaluar la integral de manera exacta. Pero se puede usar la capacidad
de integración numérica de una calculadora o computadora (o la regla del punto medio
o la regla de Simpson) para estimar la integral. Al hacerlo se encuentra que
Por lo tanto, cerca de 68% de la población tiene un CI entre 85 y 115, es decir, dentro de
una desviación estándar de la media.
(b) La probabilidad de que la puntuación del CI de una persona elegida al azar sea más
de 140 es
PX 140 y 1
e x1002 450
dx
Para evitar la integral impropia, se podría aproximarla mediante la integral de 140 a 200.
(Es bastante seguro decir que las personas con un CI de más de 200 son muy pocas.)
Entonces
PX 140 y 200
P85 X 115 0.68
140
140
85
1
15s2
1
15s2
15s2
100
15
e x1002 215 2 dx
e x1002 450
dx 0.0038
Por lo tanto, cerca del 0.4% de la población tiene un IQ de más de 140.
8.5
EJERCICIOS
1. Sea f x la función de densidad de probabilidad para la
duración de la llanta de automóvil de la más alta calidad
de un fabricante, donde x se mide en millas. Explique el
significado de cada integral.
40 000
(a) y f x dx
(b) y
f x dx
30 000
25 000
2. Sea f t la función de densidad de probabilidades para el
tiempo que le toma conducir a la escuela en la mañana, donde t
se mide en minutos. Exprese las siguientes probabilidades
como integrales.
(a) La probabilidad de que llegue a la escuela en menos de 15
minutos
(b) La probabilidad de que tarde más de media hora en llegar a
la escuela.
3. Sea f x 3
64 xs16 x 2 para 0 x 4 y f x 0 para los
otros valores de x.
(a) Compruebe que f es una función de densidad de
probabilidad.
(b) Encuentre P(X 2.
4. Sea f t xe x si x 0 y f x 0 si x 0.
(b) Compruebe que f es una función de densidad de
probabilidad.
(b) Hallar P1 x 2.
5. Sea fx c/1 x 2 .
(a) ¿Para qué valor de c, f es una función de densidad de
probabilidad?
(b) Para ese valor de c, hallar P1 x 1.
6. Sea f x kx 2 1 x si 0 x 1 y f x 0 si x 0
o x 1.
(a) ¿Para qué valor de k es f una función de densidad de
probabilidad?
(b) Para ese valor de k, determine P(X 1 2) .
(c) Encuentre la media.
7.
Una perinola de un juego de mesa indica al azar un número
real entre 0 y 10. La perinola es justa en el sentido de que
indica un número en un intervalo dado con la misma
probabilidad que indica un número en cualquier otro intervalo
de la misma extensión.
(a) Explique por qué la función
f x 0.1
0
si 0 x 10
si x 0ox 10
es la función de densidad de probabilidad para los valores de
la perinola.
(b) ¿Qué le indica su intuición acerca del valor de la media?
Compruebe su inferencia evaluando la integral.