calculo-de-una-variable-1

632 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
Cuando u p3, se tiene
x r
3 sen
3 r
3 s3
2
y r1 cos
3 r 2
y
dy
dx sen3
1 cos3 s32
1 1 2
s3
Por lo tanto, la pendiente de la tangente es s3 y su ecuación es
y o s3 x y r
r 2 s3 x
r
3 rs3
2 s3 2
La tangente se bosqueja en la figura 2.
y
(_πr, 2r) (πr, 2r)
(3πr, 2r) (5πr, 2r)
π
¨= 3
FIGURA 2
0
2πr
4πr
x
(b) La tangente es horizontal cuando dydx 0, lo que ocurre cuando sen u 0 y
1 cos u 0, es decir, u 2n 1p, n un entero. El punto correspondiente en la
cicloide es 2n 1pr, 2r.
Cuando u 2np, tanto dxdu como dydu son 0. En la gráfica se ve que hay tangentes
verticales en esos puntos. Esto se puede comprobar por medio de la regla de l’Hospital
como sigue:
lím
l2n
dy
dx
lím
l2n
sen
1 cos
l 2n
Un cálculo similar muestra que dydx l cuando , así que de hecho hay
tangentes verticales cuando u 2np, es decir, cuando x 2npr.
lím
l2n
cos
sen
ÁREAS
Se sabe que el área bajo la curva y Fx de a a b es A x a b Fx dx, donde Fx 0.
Si la curva está dada por ecuaciones paramétricas x ft, y tt a t b, en tal caso
se puede adaptar la fórmula anterior por medio de la regla de sustitución para integrales
definidas como sigue:
& Los límites de integración para t se
encuentran como siempre con la regla de la
sustitución. Cuando x a, t es a o b. Cuando
x b, t es el valor restante.
A y b
y dx y
a
ttf t dt
o bien
y
ttf t dt
V
EJEMPLO 3 Encuentre el área bajo un arco de la cicloide
x ru sen u,
y r1 cos u.
Véase fig. 3.