calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 135
Por lo tanto,
s2x
lím
2 1
x l 3x 5
2 1 x 2
lím
x l
3 5 x
2 lím
x l
1
3 5 lím
x l x
1
x 2
s2
3
y= œ„
3
y
Así, la recta y s23 también es una asíntota horizontal.
Es probable que haya una asíntota vertical cuando el denominador, 3x 5, es 0, es
5
decir, cuando x 5 . Si x tiende a y x 5 3
3 3, después el denominador está cercano a 0 y
3x 5 es positivo. El numerador s2x 2 1 siempre es positivo, de modo que fx es
positivo. Por lo tanto,
y=_ œ„
3
x
s2x 2 1
lím
x l 53 3x 5
x= 5 3
5
Si x está cerca de pero x 5 3
3 , en seguida 3x 5 0 y fx es grande y negativa. De
esta manera,
FIG 8
y= 3x-5
+1
s2x
lím
2 1
x l 53 3x 5
La asíntota vertical es x 5 3 . Las tres asíntotas se ilustran en la figura 8.
EJEMPLO 5 Calcule lím
.
x l (sx 2 1 x)
& Puede considerar que la función dada tiene
un denominador de 1.
SOLUCIÓN Ya que tanto sx 2 1 como x son grandes cuando x es grande, es difícil
ver qué sucede con su diferencia, por eso, use el álgebra para escribir de nuevo la
función. En primer lugar multiplique el numerador y el denominador por el radical
conjugado.
lím (sx 2 1 x) lím (sx 2 1
x l x
x) sx 2 1 x
l sx 2 1 x
x 2 1 x 2
lím
x l sx 2 1 x lím 1
x l sx 2 1 x
Se podría aplicar el teorema de la compresión para demostrar que este límite es 0. Pero
un método más fácil es dividir el numerador y el denominador entre x. Al efectuar
esto y aplicar las leyes de los límites obtiene
y
1
y= œ„„„„„ ≈+1-x
lím (sx 1
2 1 x) lím
x l x l sx 2 1 x lím
x l
1
x
x l
lím
1 1
1
2
x
1
x
sx 2 1 x
x
0
s1 0 1 0
0 1
x
En la figura 9 se ilustra este resultado.
FIGURA 9
En la gráfica de la función exponencial natural y e x tiene la recta y 0 (el eje x)
como asíntota horizontal. (Lo mismo se cumple para cualquier función exponencial con