calculo-de-una-variable-1

252 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
3.10
EJERCICIOS
1–4 Encuentre la linealización Lx de la función en a.
1. f x x 4 3x 2 , a 1 2. f x ln x,
a 1
3. f x cos x, a 2 8. f x x 3/4 , a 16
25. 8.06 23
26.
27. tan 44
28.
11002
s99.8
; 5. Encuentre la aproximación lineal a la función f x s1 x
en a 0 y úsela para hacer una aproximación a los números
s0.9 y s0.99. Ilustre dibujando f y la recta tangente.
; 6. Encuentre la aproximación lineal de la función tx s 3 1 x en
a 0 y aplíquela para hacer una aproximación a los números
s 3 0.95 y s 3 1.1. Ilustre dibujando t y la recta tangente.
; 7–10 Compruebe la aproximación lineal dada en a 0. A continuación
determine los valores de x para los cuales la aproximación lineal
es exacta hasta un valor menor que 0.1.
7. s 3 1 x 1 1 3 x
8. tan x x
9.
11 2x 4 1 8x
10.
11–14 Calcule la diferencial de las funciones.
11. (a) y x 2 sen 2x
(b) y lns1 t 2
12. (a) y s/1 2s
(b) y e u cos u
13. (a) y u 1
(b) y 1 r 3 2
u 1
14. (a) y e tan pt
(b) y s1 ln z
15–18 (a) Calcule la diferencial de dy y (b) evalúe dy para los valores
dados de x y dx.
15. y e x10 ,, x 0,
16. y 1x 1, x 1,
17. y tan x, x 4,
18. y cos x, x 3,
19–22 Calcule y y dy para los valores dados de x y dx x.
Luego elabore un esquema como el de la figura 5 en el que se
muestren los segmentos lineales con longitudes dx, dy y y.
19. y 2x x 2 , x 2,
20. y sx, x 1,
dx 0.1
x 1
dx 0.01
dx 0.1
dx 0.05
x 0.4
e x 1 x
21. y 2/x, x 4 , x 1
22. y e x , x 0,
x 0.5
23. 2.001 5 24. e 0.015
23–28 Aplique la aproximación lineal o bien las diferenciales para
estimar el número dado.
29–31 Explique, en términos de aproximaciones lineales o
diferenciales, por qué es razonable la aproximación.
29.
31.
32. Sean
y
(a) Encuentre la linealización de f, t y h en a 0. ¿Qué
advierte? ¿Cómo explica lo que sucedió?
; (b) Dibuje f, t y h y su aproximación lineal. ¿Para cuál función
es mejor la aproximación lineal? Explique.
33.
sec 0.08 1
ln 1.05 0.05
f x x 1 2
Se encontró que la arista de un cubo es 30 cm, con un error
posible en la medición de 0.1 cm. Utilice diferenciales para
estimar el error posible máximo, error relativo, y el porciento
de error al calcular (a) el volumen del cubo y (b) el área
superficial del cubo.
34. Se da el radio de un disco circular como de 24 cm, con un error
máximo en la medición de 0.2 cm.
(a) Utilice diferenciales para estimar el error máximo en el
área calculada del disco.
(b) ¿Cuál es el error relativo? ¿Cuál es el error en porcentaje?
35. La circunferencia de una esfera se midió como 84 cm, con un
error posible de 0.5 cm.
(a) Use diferenciales para estimar el error máximo en el área
superficial calculada. ¿Cuál es el error relativo?
(b) Use diferenciales para estimar el error máximo en el volumen
calculado. ¿Cuál es el error relativo?
36. Utilice diferenciales para estimar la cantidad de pintura
necesaria para aplicar una mano de 0.05 cm de espesor a un
domo hemisférico que tiene un diámetro de 50 m.
37. (a) Aplique diferenciales para determinar una fórmula para el
volumen aproximado de un cascarón cilíndrico de altura h,
radio interno r y espesor r.
(b) ¿Cuál es el error que hay al utilizar la fórmula del
inciso (a)?
38. Se conocen un lado de un triángulo rectángulo de 20 cm de
longitud y se mide el ángulo opuesto de 30°, con un error
posible de ±1°.
(a) Use diferenciales para estimar el error máximo en el área
superficial calculada. ¿Cuál es el error relativo?
(b) Use diferenciales para estimar el error máximo en el volumen
calculado. ¿Cuál es el error relativo?
30.
hx 1 ln1 2x
1.01 6 1.06
tx e 2x