calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 103
y
3
2
y=ƒ
Esto es válido porque fx tx excepto cuando x 1, y al calcular un límite conforme
x se aproxima a 1 no se considera qué sucede cuando x es en realidad igual a 1.
En general tiene el hecho útil siguiente.
1
0
1 2 3
x
Si fx tx cuando x a, entonces
el límite.
lím f x lím
x l a
tx , en caso de que exista
x l a
y
3
2
1
0
1 2 3
y=©
FIGURA 2
Las gráficas de las funciones f (del
ejemplo 3) y g (del ejemplo 4)
x
EJEMPLO 4 Encuentre lím tx, donde
x l1
tx x 1
si x 1
si x 1
SOLUCIÓN En este caso, t está definida en x 1 y t1 p, pero el valor de un límite
cuando x tiende a 1 no depende del valor de la función en 1. Como tx x 1 para
x 1,
lím tx lím x 1 2
x l 1 x l 1
Advierta que los valores de las funciones de los ejemplos 3 y 4 son idénticos, excepto
cuando x 1 (véase la figura 2), de modo que tienen el mismo límite cuando x tiende a 1.
3 h 2 9
V EJEMPLO 5 Evalúe lím
.
h l 0 h
SOLUCIÓN Si define
en tal caso, como en el ejemplo 3, no puede calcular lím hl 0 Fh haciendo h 0, ya que
F0 no está definido. Pero si simplifica Fh algebraicamente, encuentra que
Fh 9 6h h 2 9
h
(Recuerde que sólo se considera h 0 cuando se hace que h tienda a 0.) De este modo,
3 h 2 9
lím
h l 0 h
st
EJEMPLO 6 Encuentre lím
2 9 3
.
t l 0
t 2
Fh 3 h2 9
h
6h h 2
h
lím
h l 0
6 h 6
SOLUCIÓN No puede aplicar la ley del cociente de inmediato, puesto que el límite del denominador
es 0. En el presente caso, el álgebra preliminar consiste en la racionalización del
numerador:
st
lím
2 9 3 st
lím
2 9 3
st 2 9 3
t l 0 t 2
t l 0 t 2 st 2 9 3
6 h
t 2 9 9
lím
t l 0 t 2 (st 2 9 3) lím
t l 0
t 2
t 2 (st 2 9 3)
1
lím
t l 0 st 2 9 3 1
s lím t 2 9 3 1
3 3 1 6
t l 0
Este cálculo confirma lo que se conjeturó en el ejemplo 2 de la sección 2.2.