calculo-de-una-variable-1

728 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
; 34. Dibuje las primeras sumas parciales s nx de la serie n0 x n ,
junto con la función suma fx 11 x, sobre una misma
pantalla. ¿En qué intervalo parece que convergen estas sumas
parciales y fx?
35. La función J 1 definida por
J 1x
n0
se llama función de Bessel de orden 1.
(a) Determine el dominio.
; (b) Dibuje las primeras sumas parciales en una misma pantalla.
CAS (c) Si su CAS tiene incorporadas las funciones de Bessel,
dibuje J 1 en la misma pantalla que las sumas parciales
del inciso (b) y observe cómo se aproximan las sumas
parciales a J 1.
36. La función A se define mediante
1 n x 2n1
n!n 1!2 2n1
Ax 1 x 3
2 3 x 6
2 3 5 6 x 9
2 3 5 6 8 9
que se llama función de Airy en honor al matemático y astrónomo
inglés sir George Airy (1801-1892).
(a) Determine el dominio de la función de Airy.
; (b) Dibuje las primeras sumas parciales s nx en una misma
pantalla.
CAS
37.
(c) Si su CAS tiene incorporadas las funciones de Airy, dibuje
A en la misma pantalla que las sumas parciales del inciso
b), y observe cómo las sumas parciales se aproximan a A.
Una función f está definida mediante
f x 1 2x x 2 2x 3 x 4
es decir, sus coeficientes son c 2n 1 y c 2n1 2 para toda n 0.
Determine el intervalo de convergencia de la serie y plantee
una fórmula explícita para fx.
38. Si f x n0 c nx n , donde c n4 c n para toda n 0, determine
el intervalo de convergencia de la serie y una fórmula
para fx.
39. Muestre que si lím n l s n c n c, donde c 0, en tal caso el radio
de convergencia de la serie de potencias c nx n es R 1c.
40. Suponga que la serie de potencias c nx a n
satisface c n 0 para toda n. Demuestre que si existe
lím nl c nc n1, por lo tanto es igual al radio de convergencia
de la serie de potencias.
41. Suponga que el radio de convergencia de la serie c nx n es 2 y
que el radio de convergencia de la serie d nx n es 3. ¿Cuál es el
radio de convergencia de la serie c n d nx n ?
42. Suponga que el radio de convergencia de la serie de potencias
c nx n es R. ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de potencias
c nx 2n ?
11.9
& Una ilustración geométrica de la ecuación 1
se muestra en la figura 1. Como la suma de una
serie es el límite de la sucesión de las sumas
parciales
1
1 x lím snx
n l
donde
s nx 1 x x 2 x n
es la n-ésima suma parcial. Observe que cuando
n se incrementa, s nx se vuelve una mejor aproximación
para fx en 1 x 1.
REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS
En esta sección aprenderá a representar ciertos tipos de funciones como sumas de series de potencias
mediante la manipulación de series geométricas, o mediante derivación o integración
de dichas series. Quizá se pregunte por qué siempre se busca expresar una función conocida
como una suma de una cantidad infinita de términos. Más adelante se explica la utilidad de
esta estrategia en la integración de funciones que no tienen antiderivadas elementales, en la solución
de ecuaciones diferenciales y para aproximar funciones mediante polinomios. (Los científicos
lo hacen así para simplificar las expresiones con las que trabajan; los especialistas en
computación lo hacen así para representar funciones en calculadoras y computadoras.)
Inicie con una ecuación que estudió antes:
1
x 1
1 x 1 x x 2 x 3
1
x n
n0
Ya encontró esta ecuación en el ejemplo 5 de la sección 11.2, donde la obtuvo al observar
que es una serie geométrica con a 1 y r x. Pero en este caso la opinión es distinta.
Ahora considere la ecuación 1 como expresión de la función f x 11 x como una
suma de una serie de potencias.
y
s¡¡
sˆ
s∞
f
s
FIGURA 1
ƒ= 1
1-x y algunas sumas parciales 0 x
_1
1