calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.5 SECCIONES CÓNICAS |||| 659
y
(0, c)
Si los focos de una hipérbola están en el eje y, entonces al invertir los roles de
x y y se obtiene la siguiente información, que se ilustra en la figura 13.
a
y=_ b x
a
y= b x
0
(0, a)
(0, _a)
x
8
La hipérbola
y 2
a 2 x 2
b 2 1
(0, _c)
tiene focos 0, c, donde c 2 a 2 b 2 , vértices 0, a y asíntotas y abx.
FIGURA 13
¥ ≈
- =1
a@ b@
(_5, 0)
3
y=_ x
4
(_4, 0)
y
y= x
3
4
(4, 0)
0 (5, 0) x
EJEMPLO 4 Encuentre los focos y las asíntotas de la hipérbola 9x 2 16y 2 144 y bosqueje
su gráfica.
SOLUCIÓN Si se dividen ambos lados de la ecuación entre 144, se convierte en
x 2
16 y 2
9 1
FIGURA 14
9≈-16¥=144
que es la forma dada en 7 con a 4 y b 3. Puesto que c 2 16 9 25, los focos
son 5, 0. Las asíntotas son las líneas y 3 y y 3 4 x
4 x. La gráfica se muestra en la
figura 14.
EJEMPLO 5 Encuentre los focos y la ecuación de la hipérbola con vértices 0, 1 y
asíntota y 2x.
SOLUCIÓN De la figura 8 y la información dada, se ve que a 1 y ab 2. Así,
b a2 1 y c 2 a 2 b 2 5 2
4. Los focos son (0, s52) y la ecuación de la
hipérbola es
y 2 4x 2 1
CÓNICAS DESPLAZADAS
Como se explica en el apéndice C, se desplazan las cónicas al tomar las ecuaciones estándar
1, 2, 4, 5, 7 y 8 y reemplazar x y y por x h y y k.
EJEMPLO 6 Encuentre la ecuación de la elipse con focos 2, 2, 4, 2 y vértices
1, 2, 5, 2.
SOLUCIÓN El eje principal es el segmento de línea que une los vértices 1, 2, 5, 2 y
tiene longitud 4, de modo que a 2. La distancia entre los focos es 2, en estos términos
c 1. Así, b 2 a 2 c 2 3. Puesto que el centro de la elipse es 3, 2, se reemplazan
x y y en 4 por x 3 y y 2 para obtener
x 3 2
4
y 22
3
1
como la ecuación de la elipse.