calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 6.3 VOLÚMENES MEDIANTE CASCARONES CILÍNDRICOS |||| 433
70. Un agujero de radio r se taladra en el centro de una esfera
de radio R r. Calcule el volumen de la parte restante de
la esfera.
71. Algunos de los iniciadores del cálculo, como Kepler o Newton,
se inspiraron en el problema de determinar volúmenes de barriles
de vino. (De hecho, Kepler publicó un libro Stereometria
doliorum en 1715, en el que se tratan los métodos para determinar
volúmenes de los barriles.) A menudo se aproximan la forma
de sus lados mediante parábolas.
(a) Se genera un barril de altura h y radio máximo R al girar
alrededor del eje x la parábola y R cx 2 ,
h2 x h2, donde c es una constante positiva.
Demuestre que el radio de cada extremo del barril es
r R d, donde d ch 2 4.
(b) Demuestre que el volumen encerrado por el barril es
V 1 3 h(2R 2 r 2 2 5 d 2 )
72. Suponga que una región tiene un área A que se localiza por
arriba del eje x. Cuando gira alrededor del eje x, genera un
sólido de volumen V 1 . Cuando gira alrededor de la recta
y k, donde k es un número positivo, genera un sólido
de volumen . Exprese en función de , k y A.
V 2
V 2
V 1
y
1
FIGURA 1
x L =?
y=2≈-˛
6.3
x R =?
0 2
Îr
h
x
VOLÚMENES MEDIANTE CASCARONES CILÍNDRICOS
Algunos problemas relacionados con volúmenes son muy difíciles de manejar con los
métodos de las secciones anteriores. Por ejemplo, considere el problema de determinar el
volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región definida por y 2x 2 x 3 y
y 0 alrededor del eje y. (Véase figura 1.) Si corta en forma perpendicular al eje y, obtendrá
una rondana. Pero para calcular los radios interior y exterior de la rondana, tendría
que resolver la ecuación cúbica y 2x 2 x 3 para encontrar x en función de y. Eso
no es fácil.
Por fortuna, hay un sistema llamado método de los cascarones cilíndricos, que es más
fácil de usar en tal caso. En la figura 2 se ilustra un cascarón cilíndrico de radio interior r 1 ,
radio exterior r 2 y altura h. Su volumen V se calcula restando el volumen V 1 del cilindro
interior del volumen V 2 que corresponde al cilindro exterior:
V V 2 V 1
r 2 2h r 2 1h r 2 2 r 2 1h
r 2 r 1 r 2 r 1 h
2 r 2 r 1
hr 2 r 1
2
Si hace r r (el espesor del cascarón) y r 1 2 r 1 2 r 2 r 1 (el radio promedio del cascarón)
entonces esta fórmula del volumen de un cascarón cilíndrico se transforma en
FIGURA 2
1
que se puede recordar como
V 2rh r
V [circunferencia][altura][espesor]
Ahora, sea S el sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y a la región limitada
por y f x [donde f x 0], y 0, x a y x b, donde b a 0. (Véase figura 3.)
y
y
y=ƒ
y=ƒ
0
a b x
0
a
b
x
FIGURA 3