calculo-de-una-variable-1

324 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
Por lo tanto, la función que desea minimizar es
Para hallar los números críticos derive
Ar 2r 2 2000
r
r 0
& En el proyecto de aplicación que se
presenta en la página 333 se investiga la forma
más económica para una lata tomando en
cuenta otros costos de fabricación.
y
1000 y=A(r)
Ar 4r 2000 4r 3 500
r 2 r 2
Entonces, A(r) 0 cuando r 3 500, de modo que el único número crítico es
r s 3 500 .
Como el dominio de A es 0, , no puede aplicar el argumento del ejemplo 1 relativo
a los puntos extremos; pero observe que Ar 0 para r s 3 500 y Ar 0 para
r s 3 500 , por lo que A es decreciente para todo r a la izquierda del número crítico y
creciente para todo r a la derecha. De este modo, r s 3 500 debe dar lugar a un
mínimo absoluto.
Como otra posibilidad podría argumentar que Ar l cuando r l 0 y Ar l
cuando r l , de manera que debe haber un valor mínimo de A(r), el cual tiene que
ocurrir en el número crítico. Véase la figura 5.
El valor de h correspondiente a r s 3 500 es
0
FIGURA 5
10
r
h 1000 1000
r 2 500 2 500
3
2r
23
En estos términos, a fin de minimizar el costo de la lata, el radio debe ser s 3 500 cm, y
la altura debe ser igual al doble del radio; a saber, el diámetro.
NOTA 1 El argumento que se usó en el ejemplo 2 para justificar el mínimo absoluto es
una variante de la prueba de la primera derivada (la cual sólo se aplica a los valores máximos
o mínimos locales) y se enuncia a continuación para referencia futura:
TEC En Module 4.7 podrá ver seis problemas
de optimización adicionales, incluyendo
animaciones de las situaciones
físicas.
PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA PARA VALORES EXTREMOS ABSOLUTOS Suponga
que c es un número crítico de una función continua f definida sobre un
intervalo.
(a) Si f x 0 para toda x c y f x 0 para toda x c, entonces fc es el
valor máximo absoluto de f.
(b) Si f x 0 para toda x c y f x 0 para toda x c, fc es el valor mínimo
absoluto de f.
NOTA 2 Otro método para resolver problemas de optimización consiste en usar la derivación
implícita. Vea el ejemplo 2 una vez más para ilustrar el método. Trabaje con las
mismas ecuaciones
A 2r 2 2rh
r 2 h 100
Pero en vez de eliminar h, derive las dos ecuaciones implícitamente con respecto a r
A 4r 2h 2rh
2rh r 2 h 0
El mínimo se presenta en un número crítico, de tal suerte que A 0, simplifique y llegue
a las ecuaciones
2r h rh 0
2h rh 0
y al restar, da 2r h 0, o bien h 2r.