calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 9.4 MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL |||| 593
V EJEMPLO 1 Dibuje un campo direccional para la ecuación logística con k 0.08 y
capacidad de soporte K 1 000. ¿Qué se puede deducir acerca de las soluciones?
SOLUCIÓN En este caso la ecuación diferencial logística es
Un campo direccional para esta ecuación se muestra en la figura 1. Se muestra sólo el
primer cuadrante porque las poblaciones negativas no son significativas y se tiene interés
sólo en lo que sucede después de t 0.
P
1400
1200
1000
800
600
400
dP
dt
0.08P1
1000
P
FIGURA 1
Campo direccional para la
ecuación logística del ejemplo 1
200
20
40
60
80
La ecuación logística es autónoma ( dPdt depende sólo de P, no de t), así que las
pendientes son las mismas a lo largo de cualquier recta horizontal. Como se esperaba,
las pendientes son positivas para 0 P 1000y negativas para P 1000.
Las pendientes son pequeñas cuando P se aproxima a 0 o 1 000 (la capacidad de
soporte). Observe que las soluciones se alejan de la solución de equilibrio P 0 y se
mueven hacia la solución de equilibrio P 1 000.
En la figura 2 se usa el campo direccional para bosquejar curvas solución con
poblaciones iniciales P0 100, P0 400, y P0 1 300. Note que las curvas
solución que empiezan abajo de P 1 000 son crecientes y las que empiezan arriba
de P 1 000 son decrecientes. Las pendientes son mayores cuando P 500 y en
consecuencia las curvas solución abajo de P 1 000 tienen puntos de inflexión
cuando P 500. De hecho, se puede probar que las curvas solución que empiezan
abajo de P 500 tienen un punto de inflexión cuando P es exactamente 500 (véase
el ejercicio 9).
P
1400
1200
1000
800
600
FIGURA 2
Curvas solución
para la ecuación
logística del ejemplo 1
400
200
0
20
40
60
80