calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS |||| 257
EJEMPLO 2 Cualquiera de estas reglas de derivación se puede combinar con la regla de la
cadena. Por ejemplo,
d
dx (cosh sx) senh sx d senh sx
sx
dx 2sx
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
De acuerdo con las figuras 1 y 3, senh y tanh son funciones uno a uno por lo que tienen funciones
inversas denotadas por senh 1 y tanh 1 . En la figura 2 se observa que cosh no es uno
a uno, sino que cuando queda restringido al dominio 0, se transforma en uno a uno. La
función coseno hiperbólico inversa se define como la inversa de esta función restringida.
2
y senh 1 x &? senh y x
y cosh 1 x &? cosh y x y y 0
y tanh 1 x &?tanh y x
Las funciones hiperbólicas inversas que faltan se definen de manera similar (véase ejercicio
28).
Las funciones senh 1 , cosh 1 y tanh 1 se grafican en las figuras 8, 9, y 10 con ayuda de
las figuras 1, 2 y 3.
y
y
y
0
x
_1
0
1
x
0
1
x
FIGURA 8 y=senh–! x
dominio = R rango=R
FIGURA 9 y=cosh–! x
dominio = [1, `} rango = [0, `}
FIGURA 10 y=tanh–! x
dominio = (_1, 1) rango = R
Puesto que las funciones hiperbólicas se definen en términos de las funciones exponenciales,
no sorprende enterarse que las funciones hiperbólicas inversas se pueden expresar
en términos de logaritmos. En particular, tiene que:
& La fórmula 3 se demuestra en el ejemplo 3. En
los ejercicios 26 y 27 se piden las demostraciones
de las fórmulas 4 y 5.
3
4
5
senh 1 x ln(x sx 2 1)
x
cosh 1 x ln(x sx 2 1) x 1
tanh 1 x 1 2 ln 1 x
1 x 1 x 1
senh 1 x ln(x sx 2 1)
EJEMPLO 3 Demuestre que .
SOLUCIÓN Sea y senh 1 x. En tal caso
x senh y e y e y
2