calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO |||| 285
DEMOSTRACIÓN Sea Fx f x tx. Entonces
Fx f x tx 0
para toda x en a, b. Por esto, según el teorema 5, F es constante; es decir,
constante.
f t es
NOTA
Es necesario tener cuidado al aplicar el teorema 5. Sea
f x
x
x 1 1
si x 0
si x 0
El dominio de f es D x x 0 y f x 0 para toda x en D. Pero obviamente f no
es una función constante. Esto no contradice el teorema 5 porque D no es un intervalo. Observe
que f es constante en el intervalo 0, ∞ y también en el intervalo ,0.
EJEMPLO 6 Demuestre la identidad tan 1 x cot 1 x 2.
SOLUCIÓN Aunque no se necesita al cálculo para demostrar esta identidad, la demostración
con ayuda del cálculo es muy simple. Si f x tan 1 x cot 1 x, entonces
f x 1
1 x 2 1
1 x 2 0
para todos los valores de x. Por lo tanto, f x C, una constante. Para determinar el
valor de C, x 1, [porque así puede evaluar en forma exacta f 1]. En consecuencia,
C f 1 tan 1 1 cot 1 1
4
4
2
En estos términos, tan 1 x cot 1 x 2.
4.2
EJERCICIOS
1–4 Verifique que la función cumple las tres hipótesis del teorema
de Rolle en el intervalo dado. Luego determine todos los números c
que cumplen con la conclusión del teorema de Rolle.
7. Use la gráfica f para estimar los valores de c que satisfagan
la conclusión del teorema del valor medio para el intervalo
0, 8.
1. f x 5 12x 3x 2 ,
1, 3
y
2. f x x 3 x 2 6x 2,
0, 3
3. f x sx 1 3 x,
0, 9
4. f x cos 2x,
p8, 7p8
y =ƒ
5.
Sea f x 1 x 23 . Demuestre que f 1 f 1 pero no
hay número c en 1, 1 tal que f c 0. ¿Por qué esto
no contradice al teorema de Rolle?
1
0 1
x
6. Sea f x tan x. Demuestre que f 0 f p pero no hay número
c en 0, p tal que f c 0. ¿Por qué esto no contradice
al teorema de Rolle?
8. Mediante la gráfica de f del ejercicio 7 estime los valores de c
que cumplen con la conclusión del teorema del valor medio
para el intervalo 1, 7.