calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
PROBLEMAS
1. Si un rectángulo tiene su base sobre el eje x y dos vértices sobre la curva y e x2 , demuestre
que el rectángulo tiene el área más grande posible cuando los dos vértices están en los puntos
de inflexión de la curva.
2. Demuestre que sen x cos x s2 para todo x.
3. Demuestre que para todos los valores positivos de x y y,
4. Demuestre que x 2 y 2 4 x 2 4 y 2 16 para todos los números x y y tales que y
.
5. Si a, b, c y d son constantes tal que
e xy
xy e 2
y 2 x 2
ax 2 sen bx sen cx sen dx
lím
8
x l 0 3x 2 5x 4 7x 6
y
Q
P
0 x
FIGURA PARA EL PROBLEMA 9
halle el valor de la suma a b c d.
6. Encuentre el punto sobre la parábola y 1 x 2 en el cual la recta tangente corta el primer
cuadrante en un triángulo con área mínima.
7. Encuentre los puntos más altos y más bajos sobre la curva x 2 xy y 2 12.
8. Esquematice el conjunto de todos los puntos x, y tales que x y e x
.
9. Si Pa, a 2 es cualquier punto en la parabola y x 2 , excepto en el origen, sea Q el punto
donde la línea normal cruza la parábola una vez más. Demuestre que el segmento de línea PQ
tiene la longitud más corta posible cuando a 1s2
10. ¿Para que valores de c la curva y cx 3 e x tiene puntos de inflexión?
11. Determine los valores del número a para los cuales la función f no tiene números críticos.
f x a 2 a 6 cos 2x a 2x cos 1
12. Trace la región en el plano que consta de todos los puntos x, y tales que
2xy x y x 2 y 2
y=≈
A
y
B
13. La recta y mx b corta a la parábola y x 2 en los puntos A y B (véase la figura). Determine
el punto P en el arco AOB de la parábola que maximiza el área del triángulo PAB.
14. ABCD es un trozo cuadrado de papel con lados de longitud 1 m. Se dibuja un cuarto de círculo
desde B hasta D, con centro en A. El trozo de papel se dobla a lo largo de EF con E sobre AB
y F sobre AD, de suerte que A cae sobre el cuarto de círculo. Determine las áreas máxima y
mínima que podría tener el triángulo AEF.
y=mx+b
O P
FIGURA PARA EL PROBLEMA 13
x
15. ¿Para qué números positivos a la curva y a x corta a la recta y x?
16 ¿Para qué valores de a es verdadera la ecuación siguiente?
lím
x l x a
x
x a
17. Sea f x a 1 sen x a 2 sen 2x a n sen nx, donde a 1 , a 2 , ..., a n son números reales
y n es un entero positivo. Si sabe que
para toda x, demuestre que
e
f x sen x
a1 2a2 nan 1
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