calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
16. Una sucesión a n se define recursivamente mediante las ecuaciones
a 0 a 1 1
Calcule la suma de la serie n0 a n .
nn 1a n n 1n 2a n1 n 3a n2
17. Tome el valor de x x en 0 como 1 e integre una serie término a término, y con esto demuestre
que
y 1
x x dx 1 n1
0
n1 n n
P¡ P∞
P
Pˆ
P˜
P¡¸
P¢ P
P£
Pß
FIGURA PARA EL PROBLEMA 18
1
1
¨£
¨
¨¡
P 1
FIGURA PARA EL PROBLEMA 20
1
1
1
18. Inicie con los vértices P 10, 1, P 21, 1, P 31, 0, P 40, 0 de un cuadrado, y localice puntos
como se muestra en la figura: P 5 es el punto medio de P 1P 2, P 6 es el punto medio de P 2P 3, P 7
es el punto medio de P 3P 4 , y así sucesivamente. La trayectoria espiral de la poligonal
P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7 ... se aproxima al punto P dentro del cuadrado.
1
(a) Si las coordenadas de P n son x n, y n, demuestre que 2 x n x n1 x n2 x n3 2 y encuentre
una ecuación similar para las coordenadas y.
(b) Determine las coordenadas de P.
19. Si f x m0 c mx m tiene radio positivo de convergencia y e f x n0 d nx n , demuestre que
nd n n
i1
ic i d ni
n 1
20. Se trazan triángulos rectángulos como en la figura. Cada uno de los triángulos tiene una altura
de 1 y su base es la hipotenusa del triángulo precedente. Demuestre que esta sucesión
de triángulos da una cantidad indefinida de vueltas alrededor de P mostrando que n es una
serie divergente.
21. Considere la serie cuyos términos son los recíprocos de los enteros positivos que se pueden escribir
con la notación de base 10 sin usar el dígito 0. Demuestre que esta serie es convergente
y que la suma es menor que 90.
22. (a) Demuestre que la serie de Maclaurin de la función
x
es
f x
f nx n
1 x x 2 n1
donde f n es el n-ésimo número de Fibonacci, es decir, f 1 1, f 2 1 y f n f n1 f n2
para n 3. [Sugerencia: Escriba x1 x x 2 c 0 c 1x c 2x 2 . . . y multiplique
ambos lados de esta ecuación por 1 x x 2 .]
(b) Determine una fórmula explícita para el n-ésimo número de Fibonacci, escribiendo f x
como una suma de fracciones parciales y con ello obteniendo la serie de Maclaurin de una
manera distinta.
23. Sea
u 1 x3
3! x6
6! x9
9! . . .
v x x4
4! x7
7! x10
10! . . .
w x2
2! x5
5! x8
8! . . .
Demuestre que u 3 v 3 w 3 3uvw 1.
24. Demuestre que si n 1, la nésima suma parcial de la serie armónica no es un entero.
Sugerencia: Sea 2 k la máxima potencia de 2 que es menor o igual a n y sea M el producto de
todos los enteros nones que sean menores o iguales a n. Suponga que s n m, un entero.
Entonces M2 k s n M2 k m. El lado derecho de esta ecuación es par. Pruebe que el lado izquierdo
es impar al demostrar que cada uno de sus términos es un entero par, excepto el último.
763