calculo-de-una-variable-1

178 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
y
(0, 4)
V EJEMPLO 6 Encuentre sobre la curva y x 4 6x 2 4, los puntos donde la recta tangente
es horizontal.
{_œ„3, _5}
0 x
FIGURA 5
La curva y=x$-6x@+4 y
sus tangentes horizontales
{œ„3, _5}
SOLUCIÓN Se tienen tangentes horizontales donde la derivada es cero. Observe que,
dy
dx d dx x 4 6 d dx x 2 d dx 4
4x 3 12x 0 4xx 2 3
Así, dydx 0 si x 0 o x 2 3 0, es decir, x s3. Por eso, la curva dada tiene
tangentes horizontales cuando x 0, s3 y s3. Los puntos correspondientes son (0, 4)
(s3, 5) y (s3, 5) . (Véase la figura 5.)
EJEMPLO 7 La ecuación de movimiento de una partícula es s 2t 3 5t 2 3t 4,
donde s se mide en centimetros y t en segundos. Hallar la aceleración como una función
del tiempo. ¿Cuál es la aceleración después de 2 segundos?
SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son
v(t) ds
dt 6t2 10t 3
a(t) dv
dt
12t 10
La aceleración después de 2 s es a(2) 14 cm/s 2 .
FUNCIONES EXPONENCIALES
Intente calcular la derivada de la función exponencial f(x) a x , aplicando la función de
derivada
f x lím
h l 0
f x h f x
h
lím
h l 0
a x a h a x
h
lím
h l 0
a x a h 1
h
El factor a x no depende de h, de modo que puede llevarlo adelante del límite:
f x a x lím
h l 0
a h 1
h
Advierta que el límite es el valor de la derivada de f en 0; esto es,
a h 1
lím f 0
h l 0 h
lím
h l 0
a xh a x
h
En consecuencia, ha demostrado que, si la función exponencial f(x) a x es derivable en 0,
entonces es derivable en todas partes y
4
f x f 0a x
En esta ecuación se afirma que la razón de cambio de cualquier función exponencial es
proporcional a la propia función. (La pendiente es proporcional a la altura.)