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SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 55
gráfica de f(x) 2x permanece por arriba de la gráfica de t(x) x 2 . La figura 7
proporciona una visión más global y denota que para valores grandes de x, la función
exponencial y 2 x aumenta mucho más rápido que la función potencia y x 2 .
& El ejemplo 2 muestra que y 2 x aumenta
con mayor rapidez que y x 2 . Para demostrar
qué tan rápido aumenta f (x) 2 x , efectúe
el experimento de pensamiento siguiente.
Suponga que empieza con un trozo de papel
de un milésimo de pulgada de espesor y lo
dobla a la mitad 50 veces. Cada vez que dobla
el papel a la mitad, el espesor se duplica, por
lo tanto el espesor del trozo resultante sería
2 50 1000 pulgadas. ¿Qué tan grueso cree
usted que es? Resulta ser ¡más de 17 millones
de millas!
40
_2 6
0
FIGURA 6
y=2®
y=≈
250
y=2®
y=≈
0 8
FIGURA 7
APLICACIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
La función exponencial se presenta muy a menudo en los modelos matemáticos de la naturaleza
y la sociedad. A continuación se indica brevemente cómo surge en la descripción
de crecimiento de la población. En el capítulo 1.3 se abordarán éstas y otras aplicaciones
con mayor detalle.
En primer lugar, considere una población de bacterias en un medio nutriente homogéneo.
Suponga que al muestrear la población a ciertos intervalos se determina que la población
se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide
en horas, y la población inicial es p(0) 1000, entonces se tiene
p1 2p0 2 1000
p2 2p1 2 2 1000
p3 2p2 2 3 1000
A partir de este patrón parece ser que, en términos generales,
pt 2 t 1000 10002 t
Año
TABLA 1
Población
(millones)
1900 1 650
1910 1 750
1920 1 860
1930 2 070
1940 2 300
1950 2 560
1960 3 040
1970 3 710
1980 4 450
1990 5 280
2000 6 080
Esta función de población es un múltiplo constante de la función exponencial y 2 t ,de
modo que manifiesta el crecimiento rápido que observa en las figuras 2 y 7. En condiciones
ideales (espacio ilimitado así como nutrición y libertad de enfermedades) este crecimiento
exponencial es típico de lo que ocurre en realidad en la naturaleza.
¿Qué sucede con la población humana? La tabla 1 muestra datos respecto de la población
del mundo en el siglo XX y la figura 8 ilustra la gráfica de dispersión correspondiente.
P
6x10'
1900
1920 1940 1960 1980 2000
FIGURA 8 Gráfica de dispersión para el crecimiento de la población en el mundo
t