calculo-de-una-variable-1

CAPÍTULO 3 REPASO |||| 263
69. Suponga que h(x) f(t)t(x) y F(x) f(t(x)), donde f(2) 3,
t(2) 5, t(2) 4, f (2) 2 y f (5) 11. Encuentre (a)
h(2) y (b) F(2).
70. Si f y t son las funciones cuyas gráficas se muestran, sea P(x)
f(x)t(x), Q(x) f(x)t(x) y C(x) f(t(x). Encuentre (a)
P(2), (b) Q(2) y (c) C(2).
(b) Encuentre C(t), la rapidez con que el medicamento se disipa
en la circulación.
(c) ¿Cuándo es esta rapidez igual a 0?
87. Una ecuación de movimiento de la forma
s Ae ct cost representa oscilación amortiguada de un
objeto. Encuentre la velocidad y la aceleración del objeto.
y
1
g
f
88. Una partícula se desplaza a lo largo de una recta
horizontal de modo que su coordenada en el instante t
es x sb 2 c 2 t 2 , t 0, donde b y c son constantes
positivas.
(a) Encuentre las funciones de aceleración y de velocidad.
(b) Demuestre que la partícula siempre se desplaza en dirección
positiva.
71–78 Encuentre f en términos de t.
71. fx x 2 tx 72. fx tx 2
73. fx tx 2 74. fx ttx
75. fx te x 76. fx e tx
77. fx ln tx 78. fx tln x
79–81 Halle h en términos de f y t.
79. hx
f xtx
80.
f x tx
81. hx f tsen 4x
0
1
hx f x
tx
; 82. (a) Dibuje la función fx x 2 sen x en el rectángulo de
visualización 0, 8 por 2, 8.
(b) ¿En qué intervalo es más grande la razón de cambio
promedio: 1, 2 o 2, 3?
(c) ¿En qué valor de x es más grande la razón de cambio
instantánea: x 2 o x 5?
(d) Compruebe sus estimaciones visuales del inciso (c)
calculando fx y comparando los valores numéricos
de f2 y f5.
83. ¿En qué punto sobre la curva y lnx 4 2 es la tangente
horizontal?
84. (a) Encuentre una ecuación de la tangente a la curva y e x
que sea paralela a la recta x 4y 1.
(b) Encuentre una ecuación para la tangente de la curva
y e x que pase a través del origen.
85. Halle una parábola y ax 2 bx c que pase por el punto
(1, 4) y cuyas rectas tangentes en x 1 y x 5 tengan
pendientes 6 y 2 respectivamente.
86. La función Ct Ke at e bt , donde a, b y K son constantes
positivas y b a, se usa para modelar la concentración en el
instante t de un medicamento que se inyecta en el torrente
sanguíneo.
(a) Demuestre que lím t l Ct 0.
x
89. Una partícula se desplaza sobre una recta vertical de manera
que su ordenada en el instante t es y t 3 12t 3, t 0.
(a) Encuentre las funciones de aceleración y de velocidad.
(b) ¿Cuándo se mueve hacia arriba la partícula y cuándo hacia
abajo?
(c) Halle la distancia a lo largo de la cual se desplaza la
partícula en el intervalo de tiempo 0 t 3.
; (d) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración
para 0 t 3.
(e) ¿Cuándo aumenta su rapidez la partícula? ¿Cuándo disminuye
su rapidez 0 t 3?
90. El volumen de un cono circular recto es V pr 2 h3, en donde
r es el radio de la base y h es la altura.
(a) Halle la proporción de cambio del volumen con respecto a
la altura, si el radio es constante.
(b) Encuentre la proporción de cambio del volumen con
respecto al radio, si la altura es constante.
91. La masa de una parte de un alambre es x(1 sx) kilogramos,
donde x se mide en metros desde uno de los extremos del
alambre. Encuentre la densidad lineal del alambre cuando
x 4 m.
92. El costo, en dólares, de producir x unidades de un artículo es
Cx 920 2x 0.02x 2 0.00007x 3
(a) Encuentre la función de costo marginal.
(b) Halle C(100) y explique su significado.
(c) Compare C(100) con el costo para producir el
artículo 101.
93. Inicialmente un cultivo de bacterias contiene 200 células y
crecen con una razón porporcional a su tamaño. Después de
media hora la población se ha incrementado a 360 células
(a) Establecer el número de bacterias después de t horas.
(b) Calcular el número de bacterias después de 4 horas.
(c) Encontrar la rapidez de crecimiento después de 4 horas.
(d) ¿Cuándo la población alcanzá 10 000?
94. El cobalto-60 tiene una vida media de 5.24 años.
(a) Hallar la masa que queda de una muestra de 100 mg
después de 20 años.
(b) ¿Cuánto tardaría la masa en decaer a 1 mg?