calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
Antes de trabajar en el ejemplo, cubra la solución e intente resolverlo primero
EJEMPLO 1 ¿Cuántas rectas son tangentes a las dos parábolas y 1 x 2 y
y 1 x 2 ? Calcule las coordenadas de los puntos en los cuales estas tangentes
tocan a las parábolas.
y
1
_1
Q
FIGURA 1
P
x
SOLUCIÓN Para entender este problema es esencial elaborar un esquema en donde estén las
parábolas y 1 x 2 (que es la parábola estándar y x 2 desplazada una unidad hacia
arriba) y y 1 x 2 (la cual se obtiene al reflejar la primera parábola con respecto al
eje x). Si trata de dibujar una tangente para ambas parábolas, pronto descubrirá que sólo
hay dos posibilidades, que se ilustran en la figura 1.
Sea P un punto en el cual una de estas tangentes toca la parábola superior y sea a su
coordenada x. (Es muy importante escoger la notación para la incógnita. Muy bien podía
haber escogido b o c o x 0 o x 1 en lugar de a. Sin embargo, no se recomienda utilizar x en
lugar de a porque se podría confundir con la variable x de la ecuación de la parábola.)
Entonces, como P está en la parábola y 1 x 2 , su coordenada y debe ser 1 a 2 .
Debido a la simetría mostrada en la figura 1, las coordenadas del punto Q donde la
tangente toca a la parábola inferior debe ser a, 1 a 2 .
Para usar la información de que la recta es una tangente, iguale la pendiente de la recta
PQ con la pendiente de la tangente en P. Así tiene que
m PQ 1 a 2 1 a 2
a a
1 a 2
a
y
3≈ ≈
1
≈
2
0.3≈
Si f x 1 x 2 , entonces la pendiente de la tangente en P es f a 2a. Por
consiguiente, la condición que necesita aplicar es
0.1≈
1 a 2
a
2a
0
y=ln x
x
Al resolver esta ecuación tiene 1 a 2 2a 2 , por lo que a 2 1 y a 1. Por
lo tanto, los puntos son 1, 2 y 1, 2. Por simetría, los dos puntos restantes son
1, 2 y 1, 2.
FIGURA 2
y
FIGURA 3
0 a
y=ln x
y=c≈
c=?
x
EJEMPLO 2 ¿Para cuáles valores de c la ecuación ln x cx 2 tiene exactamente una
solución?
SOLUCIÓN Uno de los principios más importantes de la solución de problemas es dibujar
un diagrama, incluso si el problema, según se enuncia, no menciona en forma explícita una
situación geométrica. Este problema se puede formular de nuevo en términos geométricos,
como sigue: ¿Para cuáles valores de c la curva y ln x interseca la curva y cx 2
exactamente en un punto?
Empiece por trazar las gráficas de y ln x y y cx 2 para diversos valores de c.
Sabe que, para c 0, y cx 2 es una parábola que se abre hacia arriba si c 0 y, hacia
abajo, si c 0. En la figura 2 se muestran las parábolas y cx 2 para varios valores
positivos de c. La mayor parte no se cruzan con y ln x y una la corta dos veces. Se
tiene la sensación de que debe haber un valor de c (en alguna parte entre 0.1 y 0.3) para el
cual las curvas se cruzan exactamente una vez, como en la figura 3.
Para hallar ese valor de c en particular, denote con a la coordenada x del punto único
de intersección. En otras palabras, ln a ca 2 , de modo que a sea la solución única de la
ecuación dada. En la figura 2 las curvas sólo se tocan, de modo que tienen una tangente
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