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SECCIÓN 9.4 MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL |||| 591
9.4
MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL
En esta sección se estudian ecuaciones diferenciales que se aplican para representar el
crecimiento de población: la ley de crecimiento, la ecuación de logística y otras.
LEY DE CRECIMIENTO NATURAL
Uno de los modelos para el crecimiento poblacional considerado en la sección 9.1 se basó
en la suposición de que la población crece a una tasa proporcional al tamaño de la población:
dP
dt
kP
¿Es ésa una suposición razonable? Suponga que se tiene una población (de bacterias,
por ejemplo) con tamaño P 1 000 y en determinado momento crece con una rapidez
de P 300 bacterias por hora. Ahora se toman otras 1 000 bacterias del mismo tipo y
se colocan en la primera población. Cada mitad de la nueva población creció en una
proporción de 300 bacterias por hora. Se esperaría que la población total de 2000 se incrementara
a una tasa de 600 bacterias por hora inicialmente (siempre que haya espacio
suficiente y nutrición). De este modo, si se duplica el tamaño, se duplica la proporción
de crecimiento. En general, parece razonable que la rapidez de crecimiento deba ser proporcional
al tamaño.
En general, si Pt es el valor de una cantidad y en el tiempo t si la rapidez de cambio
de P con respecto a t es proporcional a su tamaño Pt en cualquier momento, entonces
1
dP
dt
kP
donde k es una constante. La ecuación 1 se llama a veces ley de crecimiento natural (si k
es positiva, entonces se incrementa la población; si k es negativa, disminuye.
Debido a que es una ecuación diferencial separable se puede resolver por los métodos
de la sección 9.3:
y dy
y y k dt
ln y kt C
y e ktC e C e kt
y Ae kt
donde A ( e C o 0) es una constante arbitraria. Para ver el significado de la constante A,
se observa que
P0 Ae k 0 A
Por lo tanto, A es el valor inicial de la función.
& Los ejemplos y ejercicios de la aplicación
de (2) se proporcionan en la sección 3.8
2
La solución del problema con valores iniciales
dP
dt
kP
P0 P 0
es
Pt P 0 e kt