calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 323
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Introduzca notación
y
x A
FIGURA 2
x
Cuando intenta cercar campos poco profundos y anchos, o profundos y anchos, obtiene
áreas más o menos pequeñas. Parece que existe alguna configuración intermedia que
produce al área más grande.
En la figura 2 se ilustra el caso general. Desea maximizar el área A del rectángulo.
Sean x y y la profundidad y el ancho del campo (en pies). Enseguida exprese A en
términos de x y y:
A xy
Quiere expresar A como expresión sólo de una variable, de modo que elimina y al expresarla
en términos de x. Para llevar a cabo esto, usa la información dada de que la longitud
total de la cerca es 2 400 pies. Por esto.
2x y 2400
A partir de esta ecuación y 2400 2x, lo cual da
A x2400 2x 2400x 2x 2
Observe que x 0 y x 1 200 (de lo contrario A 0). De manera que la función que
Ax 2400x 2x 2 0 x 1200
desea maximizar es
La derivada es Ax 2 400 4x, de suerte que para encontrar los números críticos resuelve
la ecuación
2400 4x 0
lo cual da x 600. El valor máximo de A debe ocurrir en este número o en uno de los
puntos extremos del intervalo. Como A(0) 0, A(600) 720 000 y A(1 200) 0, el
método del intervalo cerrado da el valor máximo como A(600) 720 000.
De modo alternativo, podría ver que Ax 4 0 para todo x, de modo que
A siempre es cóncava hacia abajo y el máximo local en x 600 debe ser un máximo
absoluto.
En estos términos, el campo rectangular debe tener 600 pies de profundidad y 1200 pies
de ancho.
h
V EJEMPLO 2 Se va a fabricar una lata para que contenga 1 L de aceite. Halle las dimensiones
que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
FIGURA 3
r
2πr
SOLUCIÓN Dibuje el diagrama como el de la figura 3, donde r es el radio y h la altura (ambos
en cm). Para minimizar el costo del metal, minimice el área superficial total del cilindro
(tapa, fondo y lados). A partir de la figura 4, observe que los lados se fabrican de una
lámina rectangular con dimensiones 2r, y h de manera que el área superficial es
r
A 2r 2 2rh
h
Para eliminar h, aplique el hecho de que se da el volumen como de 1 L, lo cual tomamos
como 1 000 cm 3 . Por lo tanto
r 2 h 1000
lo cual da h 1 000r 2 . Si se sustituye esto en la ecuación para A, se tiene
Área 2{πr@}
FIGURA 4
Área (2πr)h
A 2r 2 2r 1000
r 2
2r 2 2000
r