calculo-de-una-variable-1

304 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
Para hallarlo aplique y e ln y :
lím 1 sen
x l 0 4xcot x lím y lím e ln y e 4
x l 0 x l 0
& En la figura 6 se muestra la gráfica de
aun cuando 0 0 no está definido, los valores
la función , x 0. Advierta que
de la función tienden a 1 cuando x l 0 .
Esto confirma el resultado del ejemplo 9.
y x x 2
EJEMPLO 9 Encuentre lím .
x l 0 x x
SOLUCIÓN Advierta que este límite es indeterminado puesto que 0 x 0 para cualquier x 0
pero x 0 1 para cualquier x 0. Podría proceder como en el ejemplo 8 o escribir la función
como una exponencial:
x x e ln x x e x ln x
En el ejemplo 6 aplique la regla de l’Hospital para demostrar que
_1
0
2
lím x ln x 0
x l 0
FIGURA 6
Por lo tanto,
lím x x lím e x ln x e 0 1
x l 0 x l 0
4.4
EJERCICIOS
1–4 Dado que
¿cuáles de los límites siguientes son formas indeterminadas? Para
aquellos que no son una forma indeterminada, evalúe el límite donde
sea posible hacerlo.
1.
(a)
(c)
(e)
(b)
(d)
2. (a) lím f xpx (b)
x l a
(c)
3. (a) lím f x px (b)
(c)
lím
x l a f x 0
lím
x l a
x l a
tx
px
4. (a) lím f x (b) lím f x (c)
x l a
(d) lím px f x (e) lím px qx (f) lím spx
x l a
f x
tx
hx
lím
x l a px
px
lím
x l a qx
lím pxqx
x l a
lím px
x l a
lím
lím px qx
x l a
lím tx 0
x l a
x l a
x l a
lím qx
x l a
lím
x l a
px
lím
x l a f x
lím hx 1
x l a
f x
px
lím hxpx
x l a
px qx
x l a
px
lím hx
x l a
x l a
qx
5–64 Halle el límite. Aplique la regla de l’Hospital donde resulte
apropiado. Si existe un método más elemental, considere la posibilidad
de utilizarlo. Si no puede aplicar la regla de l’Hospital,
explique por qué.
x 2 1
5. lím
6.
x l2 x 2 x
x 9 1
7. lím
8.
x l1 x 5 1
cos x
9. lím
10.
x l2 1 sen x
e t 1
11. lím
12.
tan px
13. lím
14.
x l 0 tan qx
ln x
15. lím
16.
x l sx
ln x
17. lím
18.
x l 0 x
19. lím
20.
21.
t l 0
e x
x l x 3
t 3
e x 1 x
lím
x l 0 x 2
x 2 x 6
lím
x l2 x 2
x a 1
lím
x l 1 x b 1
sen 4x
lím
x l 0 tan 5x
e 3t 1
lím
t l 0 t
lím
l 2
lím
x l2
ln ln x
lím
x l x
lím
x l 1
1 sen
csc
x x 2
1 2x 2
ln x
sen x
22. lím
x l 0
e x 1 x 1 2 x 2
x 3