calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE |||| 185
La aplicación adicional de la regla del producto proporciona
f(x) (x 3)e x
f (4) (x) (x 4)e x
En realidad, cada derivada que sigue adiciona otro término e x , de esa manera
f (n) (x) (x n)e x
& En el ejemplo 2, a y b son constantes. En
matemáticas es habitual aplicar letras cerca
del inicio del alfabeto para representar
constantes y las letras cercanas del final del
alfabeto representan variables
EJEMPLO 2 Derive la función f t st a bt.
SOLUCIÓN 1 Si se aplica la regla del producto, tiene
f t st
d
dt a bt a bt d dt st
st b a bt 1 2t 12
bst a bt
2st
a 3bt
2st
SOLUCIÓN 2 Si en primer lugar usa las leyes de los exponentes para volver a escribir f(t),
después puede proceder directamente, sin aplicar la regla del producto.
f t ast btst at 12 bt 32
f t 1 2at 12 3 2bt 12
la cual equivale a la respuesta de la solución 1.
En el ejemplo 2 se muestra que a veces es más fácil simplificar un producto de funciones
que utilizar la regla del producto. Sin embargo, en el ejemplo 1 esta regla es el único
método posible.
EJEMPLO 3 Si f x sx tx, donde t4 2 y t4 3, encuentre
f 4.
SOLUCIÓN Si se aplica la regla del producto, obtiene
De este modo
f x d dx [sx tx] sx d
dx tx tx d dx [sx]
sx tx tx 1 sx tx tx
2 x 12
2sx
f 4 s4 t4 t4
2s4 2 3 2
2 2 6.5
REGLA DEL COCIENTE
Encontrar una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables u f(x) y
v t(x) de manera muy similar a como se encontró la regla del producto. Si x, u y v
cambian en cantidades x, u y v, en tal caso el cambio correspondiente en el cociente
uv es
u v u u
v v u v
u uv uv v
vv v
vu uv
vv v