calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 379
PROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
FUNCIONES DE ÁREA
1. (a) Trace la recta y 2t 1 y aplique la geometría para hallar el área debajo de esta recta,
arriba del eje t y entre las rectas verticales t 1 y t 3.
(b) Si x 1, sea A(x) el área de la región que se encuentra debajo de la recta
y 2t 1, entre t 1 y t x. Dibuje un esquema de esta región y use la
geometría con el fin de hallar una expresión para A(x).
(c) Derive la función de área A(x). ¿Qué advierte?
2. (a) Si x 1, sea
Ax y x 1 t 2 dt
1
Ax representa el área de una región. Grafique la región.
(b) A partir de los resultados del ejercicio 28 de la sección 5.2 encuentre una expresión para Ax.
(c) Determine Ax. ¿Qué se puede observar?
(d) Si x 1 y h es un número positivo pequeño, por lo tanto Ax h Ax representa el
área de una región. Describa y grafique la región.
(e) Dibuje un rectángulo que sea una aproximación de la región del inciso (d). Mediante la
comparación de áreas de estas dos regiones demuestre que
Ax h Ax
h
1 x 2
(f) Mediante el inciso (e) ofrezca una explicación intuitiva del resultado del inciso (c).
; 3. (a) Dibuje la gráfica de la función f(x) cos (x 2 ) el rentángulo de visualización 0, 2 por
[1.25, 1.25.
(b) Si define una nueva función t por medio de
tx y x
cost 2 dt
entonces t(x) es el área debajo de la gráfica de f, desde 0 hasta x hasta que f(x) se vuelve
negativa, en cuyo punto t(x) se convierte en una diferencia de áreas. Use el resultado del
inciso (a) para determinar el valor de x en el cual t(x) empieza a decrecer. A diferencia
de la integral del problema 2, es imposible evaluar la integral que define t para obtener una
expresión explícita para t(x).
(c) Utilice el comando de integración de su calculadora o computadora para estimar t(0.2),
t(0.4), t(0.6), ...,t(1.8), t(2). En seguida, con estos valores dibuje una gráfica de t.
(d) Use la gráfica de t del inciso (c) para dibujar la gráfica de t; use la interpretación de t(x)
como la pendiente de una recta tangente. ¿Qué relación existe entre la gráfica de t y la de f?
4. Suponga que f es una función continua en el intervalo a, b y se define una nueva función t
por la ecuación
0
tx y x
f t dt
a
Tomando como base sus resultados en los problemas 1–3 deduzca una expresión para t(x).
5.3
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El teorema fundamental del cálculo recibe de manera apropiada este nombre porque establece
una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral.
El primero surgió del problema de la tangente, el cálculo integral lo hizo de un problema en
apariencia no relacionado, el problema del área. El profesor de Newton en Cambridge, Isaac
Barrow (1630-1677), descubrió que estos dos problemas en realidad estaban íntimamente
relacionados. De hecho, se dio cuenta que la derivación y la integración son procesos inver-