calculo-de-una-variable-1

CAPÍTULO 4 REPASO |||| 349
38.
; 39. Trace la gráfica de fx e –1x 2 en un rectángulo de
visualización en que aparezcan todos los aspectos principales
de la función. Estime los puntos de inflexión. En seguida, aplique
el cálculo para determinarlos con exactitud.
CAS
CAS
f x x 2 6.5 sen x, 5 x 5 51. Demuestre que la distancia más corta desde el punto x 1, y 1 a
la recta Ax By C 0 es
40. (a) Dibuje la función fx 11 e 1x .
(b) Explique la forma de la gráfica calculando los límites de
fx cuando x tiende a , , 0 y 0 .
(c) Use la gráfica de f para estimar las coordenadas de los
puntos de inflexión.
(d) Utilice su CAS para calcular y trazar la gráfica de f.
(e) Con la gráfica del inciso (d) estime el punto de inflexión con
más exactitud.
41–42 Utilice las gráficas de f, f y f para estimar la coordenada x
de los puntos máximo y mínimo y los puntos de inflexión de f.
Ax 1 By 1 C
sA 2 B 2
52. Encuentre el punto sobre la hipérbola xy 8 que está más cercano
al punto 3, 0.
53. Halle el área más pequeña posible de un triángulo isósceles que
está circunscrito a una circunferencia de radio r.
54. Encuentre el volumen del cono circular más grande que puede
inscribirse en una esfera de radio r.
55. En ¢ABC, D queda en AB, CD AB, cm y
CD AD BD 4
5 cm. ¿Dónde se debe situar un punto P sobre CD de
tal modo que la suma
sea mínima?
PA PB PC
CD 2
56. Resuelva el ejercicio 55 cuando cm.
57. La velocidad de una ola de longitud L en agua profunda es
41.
f x
cos 2 x
sx 2 x 1 ,
p x p
v K L C C L
42.
f x e 0.1x lnx 2 1
; 43. Investigue la familia de funciones de fx ln sen x C.
¿Cuáles características tienen los miembros de esta familia en
común? ¿En qué difieren? ¿Para cuáles valores de C es f continua
sobre , ? ¿Para cuáles valores de C f no tiene gráfica?
¿Qué sucede cuando C l ?
; 44. Investigue la familia de funciones fx cxe cx 2 .¿Qué le ocurre
a los puntos máximos y mínimos y a los puntos de inflexión
al cambiar c? Ilustre sus conclusiones dibujando varios miembros
de la familia.
45. Demuestre que la ecuación 3x 2 cos x 5 0 posee exactamente
una raíz real.
46. Suponga que f es continua en 0, 4, f 0 1, y 2 f x 5
para toda x en 0, 4. Demuestre que 9 f 4 21.
47. Aplicando el teorema del valor medio a la función
en el intervalo [32, 33], demuestre que
2 s 5 33 2.0125
f x x 15
48. ¿Para cuáles valores de las constantes a y b se tiene que 1, 6 es
un punto de inflexión de la curva y x 3 ax 2 bx 1?
49. Sea tx fx 2 donde f es dos veces derivable para todo x,
fx 0 para todo x 0 y f es cóncava hacia abajo sobre
, 0 y cóncava hacia arriba sobre 0, .
(a) ¿En cuáles números t tiene un valor extremo?
(b) Discuta la concavidad de t.
50. Halle dos números enteros positivos tales que la suma del primer
número y cuatro veces el segundo sea 1 000 y el producto
de los números sea lo más grande posible.
donde K y C son constantes positivas conocidas. ¿Cuál es la
longitud de la ola que da la velocidad mínima?
58. Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con
volumen V, en forma de un cilindro circular recto rematado
por un hemisferio. ¿Cuáles dimensiones requerirán la cantidad
mínima de metal?
59. Un equipo de hockey juega en una arena con una capacidad
de 15 000 espectadores. Con el precio del boleto fijado en
$12, la asistencia promedio en un juego es de 11 000 espectadores.
Un estudio de mercado indica que por cada dólar que
disminuya el precio del boleto, la asistencia promedio aumentará
1 000. ¿Cómo deben de fijar los propietarios del equipo
el precio del boleto para maximizar sus ingresos provenientes
de la venta de boletos?
; 60. Un fabricante determina que el costo de fabricar x unidades de
un artículo es Cx 1 800 25x 0.2x 2 0.001x 3 y la
función de demanda es px 48.2 0.03x.
(a) Dibuje las funciones de costo y de ingreso y úselas para
estimar el nivel de producción para obtener la utilidad
máxima.
(b) Aplique el cálculo a fin de hallar el nivel de producción
para obtener la utilidad máxima.
(c) Estime el nivel de producción que minimice el costo
promedio.
61. Aplique el método de Newton para calcular la raíz de la ecuación
x 5 x 4 3x 2 3x 2 0 en el intervalo [1, 2] con
una aproximación de seis posiciones decimales.
62. Aplique el método de Newton para hallar todas las raíces
de la ecuación sen x x 2 3x 1 con una exactitud de
seis posiciones decimales.
63. Aplique el método de Newton para hallar el valor máximo absoluto
de la función fx cos t t t 2 , con una exactitud
de ocho posiciones decimales.