calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.5 LA REGLA DE LA SUSTITUCIÓN |||| 403
EJEMPLO 5 Calcule y s1 x 2 x 5 dx.
SOLUCIÓN Una sustitución aceptable es más obvia si factoriza x 5 como x 4 x. Sea
u 1 x 2 . Entonces du 2xdx, de modo que xdx du2. También, x 2 u 1, de
modo que x 4 u 1 2 :
y s1 x 2 x 5 dx y s1 x 2 x 4 xdx
y su u 1 du 2 2 1 2 y su u 2 2u 1 du
1 2 y u 52 2u 32 u 12 du
1 2( 2 7u 72 2 2 5u 52 2 3u 32 ) C
1 71 x 2 72 2 51 x 2 52 1 3 1 x 2 32 C
V EJEMPLO 6 Calcule y tan xdx.
SOLUCIÓN En primer lugar, escriba la tangente en términos de seno y coseno:
y tan xdx y sen x
cos x dx
Esto sugiere que debe sustituir u cos x, dado que entonces du sen x dx y, como
consecuencia, sen x dx du:
y tan xdx y sen x
cos x dx y 1 u du
ln u C ln cos x C
Puesto que
ejemplo 6 también puede escribirse como
y tan xdx ln sec x C
5
ln cos x ln cos x 1 ln1 cos x ln sec x
, el resultado del
INTEGRALES DEFINIDAS
Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos. Uno
consiste en evaluar primero la integral indefinida y, enseguida, aplicar el teorema fundamental.
Por ejemplo, si se usa el resultado del ejemplo 2, se tiene
y 4
0 s2x 1 dx y s2x 1 dx] 0
4
1 32x 1 32 ] 0
4
1 39 32 1 31 32 1 327 1 26 3
El otro método, que suele ser preferible, es cambiar los límites de integración cuando se
cambia la variable.