calculo-de-una-variable-1

696 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
63. En la figura se ilustran dos círculos C y D de radio 1 que se tocan
en P. T es una tangente común; C 1 es el círculo que toca C,
D y T; C 2 es el círculo que toca C, D y C 1 ; C 3 es el círculo que
toca C, D y C 2 . Este procedimiento puede continuar en forma
indefinida y produce una sucesión infinita de círculos C n. Determine
una expresión para el diámetro de C n y, de ese modo,
proporcione otra demostración geométrica del ejemplo 6.
64. Un triángulo rectángulo ABC está definido con A y
AC b . CD se traza perpendicular a AB, DE se traza en forma
perpendicular a BC, EF AB, y este procedimiento continúa
en forma indefinida como se ilustra en la figura. Determine
la longitud total de todas las perpendiculares
65.
C
CD DE EF FG
en términos de b y .
B
¿Qué es lo que está mal en el cálculo siguiente?
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
H
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
F
G
(Guido Ubaldus pensaba que esto demostraba la existencia de
Dios, porque “se había creado algo de la nada”).
P
C£
1
C
1
C¡
D
E
¨
C
A
b
T
D
69. Si a n es convergente y b n es divergente, demuestre que la
serie a n b n es divergente. [Sugerencia: aplique el razonamiento
de contradicción.]
70. Si a n y b n son divergentes, ¿necesariamente a n b n es
divergente?
71. Suponga que una serie a n consta de términos positivos y sus
sumas parciales s n cumplen con la desigualdad s n 1000 para
toda n. Explique por qué a n debe ser convergente.
72. La sucesión de Fibonacci se define en la sección 11.1 mediante
las ecuaciones
Demuestre que cada uno de los siguientes enunciados es
válido.
(a)
(b)
(c)
1
1 1
f n1 f n1 f n1 f n
n2
n2
f 1 1,
f 2 1,
1
f n1 f n1
1
f n
f n1 f n1
2
f n f n1 f n2 n 3
f n f n1
73. El conjunto de Cantor, nombrado así en honor al matemático
alemán Georg Cantor (1845-1918), se construye como se
señala a continuación. Empiece con el intervalo cerrado [0, 1]
y retire el intervalo abierto ( 1 3, 2 . Esto deja los dos intervalos
[0, 1 y [ 2 3 )
3 ] 3, 1] y luego elimine el intervalo abierto constituido
por el tercio medio de cada uno. De este modo quedan cuatro
intervalos y de nuevo elimine el tercio medio de cada uno de
ellos. Continúe este procedimiento de manera indefinida eliminando
en cada paso el tercio medio de cada intervalo que
queda del paso anterior. El conjunto de Cantor consiste en los
números que quedan en [0, 1] después de que todos esos intervalos
se han eliminado.
(a) Demuestre que la longitud total de todos los intervalos que
se eliminan es 1. A pesar de eso, el conjunto de Cantor contiene
una cantidad infinita de números. Proporcione ejemplos
de algunos números del conjunto de Cantor.
(b) El tapete de Sierpinski es un equivalente en dos dimensiones
del conjunto de Cantor. Se construye eliminando el
noveno central de un cuadrado de lado 1, y luego se elimina
el centro de cada uno de los ocho cuadrados restantes,
y así sucesivamente. (En la figura se ilustran los primeros
tres pasos de la construcción). Demuestre que la suma de
las áreas de los cuadrados eliminados es 1. Esto significa
que el área del tapete de Sierpinski es cero.
66. Suponga que se sabe que n1 a n a n 0 es una serie convergente.
Demuestre que n1 1a n es una serie divergente.
67. Demuestre la parte (i) del teorema 8.
68. Si a n es divergente y c 0, demuestre que ca n es
divergente.