calculo-de-una-variable-1

322 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
4.7
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Los métodos para hallar valores extremos aprendidos en este capítulo tienen aplicaciones
prácticas en muchas áreas de la vida. Una persona de negocios quiere minimizar los costos
y maximizar las utilidades. El principio de Fermat, en óptica, afirma que la luz sigue
la trayectoria que le toma menos tiempo. En esta sección y en la siguiente resolverá problemas
como los de maximizar áreas, volúmenes y utilidades, y minimizar distancias,
tiempos y costos.
En la solución de esos problemas prácticos, el desafío más grande suele ser convertir el
problema en palabras en un problema matemático de optimización, establecer la función
que debe maximizarse o minimizarse. Recuerde los principios de solución de problemas
que se analizaron en la página 76 y adaptelos a esta situación:
PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1. Comprenda el problema El primer paso es leer el problema con cuidado, hasta que
se entienda con claridad. Hágase las preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las
cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas?
2. Dibuje un diagrama En la mayor parte de los problemas, resulta útil dibujar un
diagrama e identificar en él las cantidades dadas y requeridas.
3. Introduzca notación Asigne un símbolo a la cantidad que se va a maximizar
o minimizar (llámela Q por ahora). Asimismo, seleccione símbolos
a, b, c,..., x, y para las otras cantidades desconocidas y marque el diagrama
con estos símbolos sugerentes; por ejemplo, A para el área, h para altura y t para
el tiempo.
4. Exprese Q en términos de algunos de los otros símbolos del paso 3.
5. Si en el paso 4 Q se ha expresado como función de más de una variable, utilice la
información dada para hallar correspondencias (en la forma de ecuaciones) entre
estas variables. Enseguida, use estas ecuaciones para eliminar todas las variables,
excepto una, en la expresión para Q. De esta suerte, Q se expresará como función
de una variable x, por ejemplo, Q f(x). Escriba el dominio de esta función.
6. Aplique los métodos de las secciones 4.1 y 4.3 para hallar el valor máximo o el mínimo
absolutos de f. En particular, si el dominio de f es un intervalo cerrado, después
se puede utilizar el método del intervalo cerrado de la sección 4.1.
EJEMPLO 1 Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que
limita con un río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones
del campo que tiene el área más grande?
&
&
&
Comprenda el problema
Analogía. Intente casos especiales
Dibuje diagramas
SOLUCIÓN Para tener idea de lo que ocurre en este problema, experimente con algunos casos
especiales. En la figura 1 se muestran (no a escala) tres maneras posibles de emplear los
2 400 pies de cerca.
1000
400
100
2200
100
700
700
1000
1000
Área=100 · 2200=220 000 pies@
FIGURA 1
Área=700 · 1000=700 000 pies@
Área=1000 · 400=400 000 pies@