calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.9 ANTIDERIVADAS |||| 341
EJEMPLO 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las funciones siguientes.
(a) f x sen x (b) f x 1x (c) f x x n , n 1
SOLUCIÓN
(a) Si Fx cos x, entonces Fx sen x, de manera que una antiderivada de sen x
es cos x. Por el teorema 1, la antiderivada más general es Gx cos x C.
(b) Con base en lo que se vio en la sección 3.6, recuerde que
d
dx ln x 1 x
Por consiguiente, en el intervalo 0, la antiderivada general de 1x es ln x C. Asimismo,
para todo x 0. El teorema 1 entonces afirma que la antiderivada general de f x 1x
es ln x C sobre cualquier intervalo que no contenga 0. En particular, esto es verdadero
sobre cada uno de los intervalos , 0 y 0, . Por consiguiente, la antiderivada
general de f es
(c) Use la regla de la potencia para descubrir una antiderivada de
n 1, entonces
d
x n1
n
n 1x
dx n 1
n 1
Así, la antiderivada general de f x x n es
d
dx ln x 1 x
Fx ln x C 1 si x 0
lnx C 2 si x 0
Fx
x n1
n 1 C
x n
. De hecho, si
Esto es válido para n 0 ya que después f x x n está definida sobre el intervalo.
Si n es negativo (pero n 1), sólo es válida sobre cualquier intervalo que no contenga
a 0.
Como en el ejemplo 1, toda fórmula de derivación leída de derecha a izquierda da lugar
a una fórmula de antiderivación. En la tabla 2 se enumeran algunas antiderivadas. Cada
fórmula de la tabla es verdadera, puesto que la derivada de la función de la columna de
la derecha aparece en la columna izquierda. En particular, en la primera fórmula se afirma
que la antiderivada de una constante multiplicada por una función es una constante multiplicada
por la antiderivada de la función. En la segunda se expresa que la antiderivada de
una suma es la suma de las antiderivadas. (Se usa la notación F f , G t.)
x n
2
TABLA DE FÓRMULAS
DE ANTIDERIVACIÓN
& Para obtener la antiderivada más general,
sobre un intervalo, a partir de las particulares
de la tabla 2, sume una constante, como en el
ejemplo 1.
1x
e x
Función Antiderivada particular Función Antiderivada particular
cfx cFx
sen x cos x
f x tx
x n n 1
cos x
Fx Gx
x n1
n 1
ln x
e x
sen x
sec 2 x
sec x tan x
tan x
sec x
1
sen 1 x
s1 x 2
1
tan 1 x
1 x 2