calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.5 SECCIONES CÓNICAS |||| 661
31–48 Encuentre una ecuación para la cónica que satisfaga las condiciones
dadas.
31. Parábola, vértice 0, 0,
foco 0, 2
32. Parábola, vértice 1, 0, directriz x 5
33. Parábola, foco 4, 0, directriz x 2
34. Parábola, foco 3, 6, vértice 3, 2
35. Parábola, vértice (2, 3), eje vertical, que pasa por (1, 5)
36. Parábola, eje horizontal, que pasa por (1, 0), (1, 1),
y (3, 1)
37. Elipse, focos 2, 0, vértices 5, 0
38. Elipse, focos 0, 5, vértices 0, 13
39. Elipse, focos 0, 2, 0, 6 vértices 0, 0,
0, 8
40. Elipse, focos 0, 1, 8, 1, vértice 9, 1
41. Elipse, centro (1, 4), vértice (1, 0), lugar geométrico
(1, 6)
42. Elipse, lugares geométricos (4, 0), que pasa por
(4, 1.8)
43. Hipérbola, vértices (3, 0), lugares geométricos (5, 0)
44. Hipérbola, vértices (0, 2), lugares geométricos (0, 5)
45. Hipérbola, vértices (3, 4), (3, 6), lugares geométricos
(3, 7), (3, 9)
46. Hipérbola, vértices (1, 2), (7, 2), lugares geométricos
(2, 2), (8, 2)
47. Hipérbola, vértices 3, 0, asíntotas y 2x
48. Hipérbola, lugares geométricos (2, 0), (2, 8), asíntotas
y 3 1 y y 5 1 2 x
2 x
49. El punto en una órbita lunar próxima a la superficie de la Luna
se llama periluna, y el punto más alejado de la superficie se llama
apoluna. La nave espacial Apolo 11 se colocó en una órbita
lunar elíptica con altitud de periluna 110 km y altitud de apoluna
314 km arriba de la Luna. Encuentre una ecuación para esta
elipse si el radio de la Luna es de 1 728 km y su centro está
en un foco.
50. Una sección transversal de un reflector parabólico se muestra
en la figura. El bulbo se localiza en el foco y la abertura en el
foco es 10 cm.
(a) Encuentre una ecuación de la parábola.
(b) Determine el diámetro de la abertura CD , a 11 cm del
vértice.
C
A
V
B
5 cm
11 cm
F
5 cm
D
51. En el sistema de navegación por radio LORAN LOng RAnge
Navigation, dos estaciones de radio localizadas en A y B,
transmiten en forma simultánea señales a un barco o avión
localizado en P. La computadora de a bordo convierte la diferencia
de tiempo de recibir estas señales en una diferencia de
distancia PA PB , y esto, de acuerdo con la definición
de una hipérbola, localiza al barco o avión en una rama de
una hipérbola véase la figura. Suponga que la estación B se
localiza a 400 millas al este de la estación A sobre la costa.
Un barco recibe la señal de B 1 200 microsegundos s antes
de recibir la señal de A.
(a) Si se supone que la señal de radio viaja a una rapidez de
980 piess, encuentre la ecuación de la hipérbola sobre la
que se localiza el barco.
(b) Si el barco se dirige al norte de B, ¿qué tan lejos de la costa
está el barco?
A
costa
400 millas
estaciones de radio
52. Use la definición de hipérbola para deducir la ecuación 6 para
una hipérbola con focos c, 0 y vértices a, 0.
53. Muestre que la función definida por la rama superior de la
hipérbola y 2 a 2 x 2 b 2 1 es cóncava hacia arriba.
54. Encuentre una ecuación para la elipse con focos 1, 1 y
1, 1 y eje principal de longitud 4.
55. Establezca el tipo de curva representada por la ecuación
x 2
k y 2
k 16 1
en cada uno de los siguientes casos: (a) k 16,
(b) 0 k 16 y (c) k 0.
(d) Muestre que las curvas de los incisos a y b tienen los
mismos focos, sin importar cuál sea el valor de k.
56. (a) Muestre que la ecuación de la línea tangente a la parábola
y 2 4px en el punto x 0, y 0 se puede escribir como
y 0y 2px x 0
(b) ¿Cuál es la intersección con el eje x de esta recta tangente?
Use este hecho para dibujar la tangente.
57. Demuestre que las líneas tangentes a la parábola x 2 4py trazadas
desde cualquier punto en la directriz son perpendiculares.
58. Demuestre que si una elipse y una hipérbola tienen los mismos
lugares geométricos, entonces sus líneas tangentes en cada punto
de intersección son perpendiculares.
59. Use la regla Simpson con n 10 para estimar la longitud de la
elipse x 2 4y 2 4.
60. El planeta Plutón viaja en una órbita elíptica alrededor del Sol en
un foco. La longitud del eje mayor es 1.18 10 10 km y la
P
B