calculo-de-una-variable-1

A44 |||| APÉNDICE F PRUEBAS DE TEOREMAS
D
Al aproximar el arco AB por un polígono inscrito formado de n segmentos de recta
iguales ve un segmento típico PQ. Prolongue las rectas OP y OQ hasta encontrar AD en
los puntos R y S. A continuación trace RT PQ como en la figura 2. Observe que
B
¨
O 1
FIGURA 2
Q T
° °
° °
P
A
S
R
y entonces RTS 90. Por lo tanto,
Si suma n de estas desigualdades, obtiene
RTO PQO 90
PQ RT RS
donde es la longitud del polígono inscrito. Así, por el teorema 2.3.2
L n
L n AD tan
lím
n l L n tan
Pero la longitud del arco está definida en la ecuación 8.1.1 como el límite de las longitudes
de polígonos inscritos, y
lím
n l
L n tan
SECCIÓN 4.3
PRUEBA DE CONCAVIDAD
(a) Si f x 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba
en I.
(b) Si f x 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo
en I.
y
y=ƒ
PRUEBA DE (A) Sea a cualquier número en I. Debe demostrar que la curva y f x está
arriba de la recta tangente en el punto a, f a. La ecuación de esta tangente es
y f a f ax a
ƒ
f(a)+f ª(a)(x-a)
De modo que debe demostrar que
0
FIGURA 3
a
x
x
f x f a f ax a
siempre que x I x a. (Véase la figura 3.)
Primero tome el caso donde x a. Si aplica el teorema del valor medio a f en el intervalo
a, x, obtiene un número c, con a c x, tal que
1
f x f a f cx a
Como f 0 en I, sabe de la prueba creciente/decreciente que f es creciente en I. De
este modo, como a c
f a f c
y así, multiplicando esta desigualdad por el número positivo x a, obtiene
2
f ax a f cx a